Numeri “ritardatari” – Il teorema di Bernoulli e il gioco del lotto
Rappresentazione allegorica della Fortuna.
di Giovanni Boaga
In tempi di crisi come questi sempre più persone affidano i loro sogni ai giochi d’azzardo. Le agenzie di scommesse prosperano e continuano a nascere nuove lotterie che soddisfano le più diverse esigenze di vincita: dall’arricchimento smodato del Superenalotto al vitalizio di Win for life. Fioriscono trasmissioni televisive nelle quali furbacchioni travestiti da altruisti dispensano terne di numeri vincenti, vantando numerosi successi, e sui giornali leggiamo continuamente cronache ansiogene sulla possibilità che alla prossima estrazione qualcuno si possa portare a casa svariati milioni di euro. La rete, poi, ci viene incontro con la solita messe di informazioni: basta collegarsi a uno qualunque dei numerosi siti web che si occupano di giochi e scommesse per avere tutti gli strumenti per tentare la vincita. Sul sito della Lottomatica, ad esempio, nella sezione relativa al gioco del Lotto troviamo pagine dedicate alla Smorfia, per interpretare i propri sogni e ottenere i numeri vincenti, o quelle in cui «è possibile ricavare numeri “caldi” dalle date e dai luoghi che ci ricordano un amore». Ma troviamo anche sezioni dai nomi suggestivi come “nomi e numeri” o “numeri e cucina” dove «sono le pietanze stesse a suggerirti i numeri vincenti». Completano la lista il “test psicolottico” e il “lottoroscopo”.
Accanto a tutto questo, che appartiene al tradizionale mondo della fantasia popolare e della superstizione e che non ha nessuna base razionale né tantomeno scientifica, troviamo qualcosa di apparentemente più serio e fondato matematicamente. Alimentato da un database ricco di tutti i numeri estratti dal 1939, il sito della Lottomatica fornisce varie statistiche per scovare i numeri che non escono da più tempo, i cosiddetti “numeri ritardatari”, e addirittura i numeri spia, quei numeri la cui uscita “preannuncia” l’estrazione di altri. L’idea che c’è sotto è che in qualche modo le estrazioni sono collegate tra di loro, che esiste una sorta di memoria che permette di ricordare quali numeri sono stati estratti per renderli svantaggiati nelle estrazioni successive. Si raccomanda, insomma, di fare attenzione alla storia delle estrazioni precedenti per capire quale sarà l’andamento di quelle future. A sostegno di questa tesi viene spesso tirato in ballo uno dei teoremi più bistrattati della matematica: il teorema di Bernoulli del calcolo delle probabilità.
Anche da uno sguardo superficiale la cosa appare alquanto bizzarra. E’ come se una volta tirato un dado e costatata l’uscita del numero 6, al lancio successivo gli altri cinque numeri fossero favoriti (rispetto al 6) nell’uscita. Ma dal calcolo delle probabilità sappiamo che, non trattandosi di un dado truccato, ogni volta che lo lanciamo l’aspettativa di uscita di uno qualunque dei numeri da 1 a 6 è sempre la stessa: si dice che l’evento ha probabilità p=1/6 (numero casi favorevoli/numero casi possibili). E questa definizione di probabilità, che risulta sempre un numero compreso tra 0 (probabilità dell’evento impossibile) e 1 (probabilità dell’evento certo), si applica anche a giochi come il Lotto o il Superenalotto. Nel caso del Lotto la probabilità dell’estrazione di un numero su una ruota è uguale per tutti i novanta numeri considerati e vale 1/18. Ogni volta che si esegue un’estrazione tutto ricomincia daccapo, indipendentemente da quello che è avvenuto prima; le diverse estrazioni sono eventi indipendenti che non si influenzano vicendevolmente. Tutto ciò è evidente. Com’è possibile, quindi, che in matematica esista un teorema che ci induca a pensare a una misteriosa azione che rende favoriti alcuni numeri rispetto ad altri, anche se a priori non abbiamo ragioni di giudicarli tali?
Jacob Bernoulli (1654-1705). Fonte Wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/File:Jakob_Bernoulli.jpg .
Il file completo in pdf sul Teorema di Bernoulli lo potete scaricare cliccando su: Teorema di Bernoulli – G.Boaga .
Giovanni Boaga
TuttiDentro 
salve, tra un pò io dò i numeri e avrei piacere di trovare un’altro e/o un’altra che mi dessero dei numeri vincenti per scambio vediamo se ciò avverrà ciao saluti franco
Grazie Giovanni.
Nel calcolo delle probabilità e nella matematica, la fortuna o la vincita al lotto è molto simile all’oroscopo nell’astronomia: confusione prima di tutto, superstizione e ignoranza poi. I creduloni non si arrenderanno davanti ad una formula matematica, continueranno a credere in ciò che vogliono. Ma sono felice di aver dato spazio anche a questo problema che avvicina tutti, soprattutto quando la necessità del denaro si fa molto forte.
Mi è capitato di sentire in televisione l’intervista di un esperto matematico nel periodo in cui il Superenalotto era arrivato a toccare il valore massimo mai raggiunto prima. In quell’occasione, ci si domandava quale sarebbe stata la probabilità di vincita per un singolo giocatore. La sua risposta mi sorprese a metà, visto che si poteva intuirla. Vincere era quasi impossibile dato il numero elevato di persone che giocavano. Accade, prima o poi naturalmente, che qualcuno vinca, ma nella vita di un singolo individuo la probabilità è quasi nulla. Questo molto poco viene messo in evidenza e si approfitta della credulità e dell’ignoranza scientifica, come scrivi tu. E’ anche vero che, la speranza fa vivere. Ma si vivrebbe meglio se si sapesse veramente che cosa significa giocare? Si continuerà a giocare, si continuerà a sperare. Meglio, dal mio punto di vista, informare le persone su cosa stanno puntando.
Sabrina
sarà cara sabrina ma non ci credo molto,ma vogliamo estrapolarli questi numeri…ciao di dove sei?
Non sono d’accordo, e mi spiego con un esempio. Supponiamo di voler calcolare la probabilita’ che da due genitori che generino tre figli nascano a) tre maschi; b) due maschi e una femmina; c) un maschio e due femmine; d) tre femmine. Dato che la probabilita’ che nasca un maschio e’ pari a 1/2 e idem per la femmina, uno sarebbe portato a dire che gli eventi di cui ai sopra citati casi a-d hanno la stessa probabilita’, mentre invece le cose non stanno cosi’. La probabilita’ e’ pari a 1/8 nei casi a e d, in quanto esiste una sola sequenza di tre maschi e di tre femmine. Viceversa per due maschi e una femmina si ha piu’ di una sequenza di nascite: M, M, F; M, F, M; F, M, M. Ne discende una probabilita’ pari a 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8. Stesso risultato per un maschio e due femmine. In effetti, la somma delle probabilita’ realtive ai casi a-d sopra citati e’ data da: 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 8/8 = 1; come ci si aspetta. Se invece ogni sequenza avesse la stessa probabilita’, si avrebbe una somma pari a: 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2; contrariamente a quanto ci si aspetta.
Le stesse considerazioni si applicano alle sequenze cronologiche dei numeri del lotto, a parita’ di estratto e di ruota. Bernoulli, in fondo, aveva visto giusto…
Nell’esempio di Roberto si cerca di valutare la probabilità dell’evento “nascita di due maschi e una femmina” ed è corretto dire, in questo caso, che il suo valore non coincide con quello della probabilità degli eventi “nascita di tutti maschi” e “nascita di tutte femmine” che invece sono equiprobabili con probabilità p=1/8. In effetti, come ha fatto bene a sottolineare Roberto, nel primo evento sono “nascosti” più eventi elementari (MMF,MFM,FMM) e sono loro ad avere la stessa probabilità (1/8). Analogo discorso è per l’evento “nascita di due femmine e un maschio”. Quindi è il “mettere insieme” più eventi equiprobabili che dà origine ad un evento più probabile di 1/8.
Quello che ho cercato di spiegare nel mio articolo è, però, un’altra cosa: che non ha senso parlare di numero ritardatario, che la storia delle estrazioni non influisce sulla probabilità di uscita di un numero e che soprattutto non è lecito sostenere queste cose appoggiandosi sul teorema di Bernoulli, come spesso si fa. E’ come, riprendendo l’esempio di Roberto, se dopo due nascite, ad esempio due maschi, fosse più probabile la nascita di una femmina invece che un maschio perché l’evento “nascita di due maschi e una femmina” ha probabilità 3/4 > 1/8. Ma la sequenza MMF (che è quella che si può realizzare guardando la storia passata) ha probabilità 1/8 e non 3/4.
… naturalmente dove ho scritto 3/4 deve essere inteso 3/8 … mannaggia alla fretta!
A completamento del mio intervento precedente, e in sostanziale accordo con quanto detto da Giovanni, aggiungo le considerazioni seguenti.
Non ci sono numeri piu’ probabili, bensi’ sequenze di numeri piu’ probabili a ruota prefissata ed estratto prefissato. Faccio un semplice esempio. Da due genitori sono nate nove femmine tutte in parto singolo, ed e’ in arrivo il decimo figlio. La probabilita’ che nasca un maschio oppure una femmina e’ 1/2. La probabilita’ della successione 9 femmine + 1 maschio (FFFFFFFFFM) oppure 10 femmine (FFFFFFFFFF) e’ 1/2^{10}= 1/1024. D’altra parte, la probabilita’ di una sequenza generica di 10 femmine e’ ancora 1/1024, mentre la probabilita’ di avere una sequenza generica di un maschio e nove femmine [(MFFFFFFFFF), (FMFFFFFFFF), (FFMFFFFFFF), (FFFMFFFFFF), (FFFFMFFFFF), (FFFFFMFFFF), (FFFFFFMFFF), (FFFFFFFMFF), (FFFFFFFFMF), (FFFFFFFFFM)] e’ data da 10/1024.
Tornando ai numeri ritardatari, sono da considerarsi alla stessa stregua del maschio che deve nascere dopo nove femmine, un quanto hanno a monte una sequenza prefissata di estrazioni, ma con questa differenza: l’unica alternativa al maschio e’ la femmina, mentre per il numero ritardatario ci sono altre 89 alternative (con riferimento al gioco del lotto). Ne discende l’esistenza di 90 possibilita’: la sequenza con il numero ritardatario all’ultimo posto, e le rimanenti 89 sequenze con un altro numero all’ultimo posto, dove ogni sequenza ha la stessa probabilita’. In conclusione, la probabilita’ che esca un numero ritardatario, o una sequenza di numeri con il numero ritardatario all’ultimo posto, e’ uguale alla probabilita’ che esca qualsiasi altro numero prefissato, o qualsiasi altra sequenza di numeri con un numero prefissato non ritardatario all’ultimo posto. Conformemente al teorema di Bernoulli, se si fosse effettuato il gioco del lotto dall’inizio della sua storia, simultaneamente in un numero estrememente elevato di localita’ differenti, sarebbe estremamente improbabile l’esistenza di numeri ritardatari simultaneamente su tutte le sequenze corrispondenti a tutte le localita’.
Addendum
Le 89 alternative al numero ritardatario (e le 90 possibilita’ in totale) ovviamente si riferiscono al primo estratto. Per il secondo estratto ci sono 88 alternativa al numero ritardatario (89 possibilita’ in totale). Per il terzo estratto ci sono 87 alternativa al numero ritardatario (88 possibilita’ in totale). Per il quarto estratto ci sono 86 alternativa al numero ritardatario (87 possibilita’ in totale). Per il quinto estratto ci sono 85 alternativa al numero ritardatario (86 possibilita’ in totale).
Mi scuso per l’omissione.
Il Teorema di Bernoulli e il gioco del lotto
Con riferimento a un sistema statistico, sia p la probabilita’ di un evento E. L’effettuazione di n prove sul sistema in esame, riportato dopo ogni prova nelle stesse condizioni di partenza, abbia dato luogo a k eventi E e a n-k eventi opposti ad E, che denotiamo con OE.
In relazione al gioco del lotto, a un estratto assegnato in una ruota assegnata, l’evento E e’ costituito da un numero prefissato, e l’evento opposto OE, e’ costituito dai rimenenti numeri contenuti nell’urna.
La frequenza relativa dell’evento E, in relazione a n prove effettuate, e’ definita come il rapporto k / n tra il numero di prove che hanno dato luogo all’evento E e il numero totale di prove.
Se il numero n di prove effettuate e’ sufficientemente grande (idealmente tendente all’infinito), il teorema di Bernoulli stabilisce che la frequenza relativa dell’evento E e’ molto vicina alla probabilita’ dello stesso evento (idealmente frequenza relativa e probabilita’ dell’evento E coincidono, per un numero infinito di prove). In relazione a n prove, tenendo presente che ciascuna prova puo’ dar luogo all’evento E o all’evento opposto OE, possono presentarsi 2^n n-uple distinte del tipo {E, E, …, E, OE, OE, …, OE} dove l’evento E si manifesta k volte, e quindi l’evento OE si manifesta n-k volte, con 0 <= k <= n. Conformemente al teorema di Bernoulli, per n sufficientemente grande si avranno (con una probabilita’ che tende alla certezza) solamente quelle n-uple del tipo considerato, dove k / n ~ p avendo indicato l’uguaglianza approssimata con il simbolo ~ e la probabilita’ dell’evento E con p.
In relazione al gioco del lotto, con riferimento a un estratto assegnato in una ruota assegnata, si ha che p = 1 / 90, per cui ci si aspetta che l’estrazione di un numero prefissato si ripeta stasticamente ogni 90 estrazioni, ossia ogni 90 settimane. D’altra parte, essendo k e n necessariamente elevati in base al teorema di Bernoulli, si puo’ ragionevolmente ritenere che 10000 << k < n, o equivalentemente che una variazione di k pari a 10000 nel computo della frequenza relativa k / n lasci il corrispondente valore praticamente inalterato. In altri termini, un ritardo di 10000 settimane per un numero prefissato estratto assegnato in una ruota assegnata, non e’ in contraddizione col teorema di Bernoulli.
Per finire, vediamo piu’ in dettaglio come si arriva a stabilire che la probabilita’ di un numero prefissato al posto assegnato di una ruota assegnata e’ pari a 1/90.
Nel caso di primi estratti, il risultato consegue immediatamente dal fatto che nell’urna del lotto ci sono 90 palline contrassegnate da altrettanti numeri naturali distinti, compresi tra 1 e 90, estremi inclusi. L’assenza di motivi particolari per cui una pallina possa essere estratta preferenzialmente rispetto a un’altra, comporta che la probabilita’ di estrarre la pallina contenente un numero prefissato e’ data da 1 / 90.
Nel caso di secondi estratti, devono verificarsi due eventi: 1) l’estrazione di una pallina contenente un numero diverso da quello prefissato in relazione al primo estratto, la cui probabilita’ e’ data da p1 = 89 / 90 in base alle considerazioni precedenti; 2) l’estrazione della pallina contenente il numero prefissato, la cui probabilita’ e’ data da p2 = 1 / 89, in quanto in relazione ai secondi estratti l’urna contiene 89 palline. Pertanto la probabilita’ di estrarre un numero prefissato al secondo posto in una ruota assegnata, e’ data dal prodotto p = p1 * p2 = (89 / 90) * (1 / 89) = 1 / 90, dato che i due eventi menzionati sono compatibili, ossia il verificarsi dell’uno non esclude il verificarsi dell’altro.
Il procedimento seguito si generalizza facilmente nel caso degli estratti successivi: la probabilita’ di estrarre un numero prefissato al terzo posto in una ruota assegnata, e’ data dal prodotto p = p1 * p2 * p3 = (89 / 90) * (88 / 89) * (1 / 88) = 1 / 90; la probabilita’ di estrarre un numero prefissato al quarto posto in una ruota assegnata, e’ data dal prodotto p = p1 * p2 * p3 * p4 = (89 / 90) * (88 / 89) * (87 / 88) * (1 / 87) = 1 / 90; la probabilita’ di estrarre un numero prefissato al quinto posto in una ruota assegnata, e’ data dal prodotto p = p1 * p2 * p3 * p4 * p5 = (89 / 90) * (88 / 89) * (87 / 88) * (86 / 87) * (1 / 86) = 1 / 90; che completa l’asserto.