Homer Simpson ci prova col Teorema di Fermat

Homer in 3D

La dimostrazione matematica del Teorema di Fermat è stata fatta dall’inglese Andrew Wiles nel 1994, dopo oltre secoli di tentativi da parte delle menti più geniali della matematica.
Gli sceneggiatori de “I Simpson“, il cartone animato più longevo nella storia della produzione televisiva e indubbiamente il più famoso al mondo, hanno disseminato la matematica un po’ ovunque negli oltre 400 episodi della serie.
In particolare, ne “La paura fa novanta VI” si racconta del passaggio di Homer Simpson dal mondo bidimensionale dei cartoni animati a uno spazio cartesiano virtuale in tre dimensioni dove si possono cogliere di sfuggita delle formule estremamente complesse come per esempio:

1782^12 + 1841^12 = 1922^12

Se questa equazione fosse vera, il Teorema di Fermat verrebbe smentito. Calcolatrice alla mano, l’equazione torna. Com’è possibile?
Non possiamo affermare che Wiles e tutti i matematici, compreso Fermat, abbiano sbagliato. L’errore sta nella nostra calcolatrice che utilizza di solito dieci cifre. Se infatti scegliessimo una con un display di almeno tredici cifre ci renderemmo subito conto che l’equazione scritta sopra non sarebbe più corretta dato che è l’arrotondamento a farla apparire corretta.

L’artefice di questa spettacolare equazione apparsa alle spalle di Homer è di David Cohen, laureato in fisica ad Harvard e con un master in informatica teorica a Berkeley, che per ottenere la relazione ha scritto apposta un software per ricavare le “quasi soluzioni” del teorema di Fermat.
Poco dopo che l’episodio andò in onda, alcuni matematici che seguivano “I Simpson” fecero notare che l’equazione 1782^12 + 1841^12 = 1922^12 era chiaramente sbagliata, in quanto il primo membro è dispari mentre il secondo è pari e di conseguenza, il risultato non può essere un numero pari. Gli autori, David Cohen per primo, non si fecero scappare l’occasione per controbattere: nell’episodio  “L’inventore di Springfield” Homer con tanto di occhiali per apparire più professionale, scrive alla lavagna la seguente equazione:

3987^12 + 4365^12 = 4472^12

 Homer e il teorema Fermat

Ancora una volta, l’equazione scritta pare smentire il Teorema di Fermat e per dimostrare che non è così abbiamo bisogno di una buona calcolatrice!

Mitico Homer, grande David!

Sabrina

Della matematica ne “I Simpson” vi suggerisco: http://www.simpsonsmath.com curato da Sarah Greeenwald e Andrei Nestlerdove, nel quale sono raccolti tutte le citazioni e i riferimenti alla matematica apparsi nel cartone animato. Buona lettura a voi, appassionati dei Simpson e della matematica!

~ di Sabrina su 24 giugno 2009.

57 Risposte to “Homer Simpson ci prova col Teorema di Fermat”

  1. Fabrizio Tamburini, che ha partecipato ad una puntata di Tutti Dentro e che al Dipartimento di Astronomia dell’Università di Padova si occupa di rilevare le onde gravitazionali previste dalla teoria di Einstein, mi ha suggerito i due articoli pubblicati dal matematico Wiles legati alla dimostrazione del Teorema di Fermat: uno lo potete trovare su http://modular.fas.harvard.edu/129/references/flt/flt.pdf
    (Modular elliptic curves and Fermat’s Last theorem); il secondo su http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/taylor-wiles-small.pdf (Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras).
    Con tanta passione per la matematica e con la bravura di Wiles e Tamburini, potremmo non solo leggerlo ma anche capirlo!
    Buona lettura.

  2. Tanti commenti su questo post li potete trovare su Facebook, sotto “Tutti Dentro”. Ringrazio di cuore Fabrizio e tutti coloro che hanno partecipato.

  3. I Simpson mi sono sempre stati simpatici, sia per come affrontano la vita di tutti i giorni, sia perchè rispecchiano più o meno il modo di esprimersi dei giovani. Mi stupisce vedere il mitico Homer alle prese con calcoli improponibili e che per giunta si rivelano esatti (almeno a una prima osservazione)!

  4. Homer, che si mette a bere una birra con Stephen Hawking e che alla lavagna fa tornare il Teorema di Fermat, fa sperare ognuno di noi: forse un giorno potremmo capirci qualcosa!

  5. E’ proprio così! Se volete davvero non capirci un bel niente sulla dimostrazione dell’Ultimo Teorema di Fermat leggete pure quanto pubblicato da Wiles e Taylor nel 1995…ma, se davvero vi interessa conoscere chi è stato il primo matematico cche ha dimostrato in solo sei pagine la celebre congettura di Fermat, vi consiglio di orientare le vostre ricerche verso il Teorema Mirabilis di Gallo del quale l’Ultimo Teorema di Fermat (UTF)è un caso particolare…Ma il Teorema Mirabilis non dimostra solo l’UTF, esso consente anche di mettere da parte lo stesso Teorema di Pitagora in quanto con un solo lato coonsente il calcolo degli altri due di un triangolo rettangolo ( senza radici quadrate, senza tentativi e senza l’uso delle frazioni continue!)
    Un esempio? Se T è il triangolo rettangolo di ipotenusa z=5 e si voglino calcolare i due cateti di T, mediante la funzione di simmetria di Gallo di grado 2 F(w)= 25 -2 w ^2 , relativa all’equazione pitagorica (P) x^2 +y^2=25, basta far variare il parametro w tra i valori (1,2,3,4) (interi positivi che variano in (1,2,..,(z-1)) per ottenere due valori i due valori SIMMETRICI F(3)=+7 ed F(4)=-7, per w1=3 e w2=4: per cui i cateti misurano 3 (=w1) e 4 (=w2): in tal modo abbaimo calcolato i due cateti di T conoscendo solo la misura dell’ipotenusa, senza tentativi, senza radici quadrate e senza l’uso delle frazioni continue!
    Il Teorema Mirabilis è stato creato dal mateamtico italiano Onofrio Gallo( n.1946 a Cervinara, Valle Caudina). Un saluto a HOMER SIMPSON dal suo fan Andrews.

    • Ciao Andrews, piacere leggerti su questo Blog, grazie per il tuo commento e per l’esempio che hai riportato. Penso che tutti coloro che sono appassionati di matematica (o che ne hanno fatto una professione) oltre che di Homer Simpson troveranno interessante il tuo calcolo. Non sapevo che l’italiano Gallo avesse dimostrato il Teorema Mirabilis, un caso particolare dell’ultimo Teorema di Fermat. Grazie davvero.
      Ciao, Sabrina

      Sabrina

      • Sabrina, non si lasci ingannare così facilmente da gente che si diverte a scrivere burle su dei blog. Quanto scritto da Andrews è sicuramente apprezzabile per il gesto goliardico, per come tenta di inventare nuove parole pseudo-matematiche che possano far cadere gli altri nello scherzo. Agli occhi di una persona qualunque potrà anche sembrare verosimile, un matematico non può far altro che scoppiare a ridere.
        Comunque, giusto per dirne una, questo teorema mirabilis consentirebbe di trovare i cateti di un triangolo rettangolo a partire dalla sola ipotenusa, e nei conti citati da Andrews vengono trovati due lati lunghu 3 e 4. Peccato però che di triangoli rettangoli con ipotenusa lunga 5 ce ne siano infiniti, non solo quello trovato dal nostro caro Gallo.

    • UnMatematicoVero: è chiaro che andrews intenda un triangolo rettangolo che ha le lunghezze dei lati che sono numeri interi. In altre parole il teorema di cui parla permette di trovare tutte le terne pitagoriche a partire dalla misura dell’ipotenusa del triangolo rettangolo associato.
      Vedo che comunque nella equazione che ha pubblicato si devono inserire vari parametri, in un certo senso si deve andare a tentativi; quindi vorrei sapere come risolverebbe la cosa se ci si trovasse davanti a un Ipotenusa pari a 277, ci vorrebbero 276 tentativi.

      Oltre al fatto che l’equazione di cui parla è limitatissima, essendo applicabile solo a triangoli rettangoli con cateti uguali, si rivela anche inutile nella pratica, visto che equivale a risolvere un’equazione di secondo grado con una sola informazione, sfruttando il fatto che si deve ottenere un numero intero.

  6. Cara Sabrina, ti ringrazio per la sollecita attenzione dimostrata e per il tuo bel commento, sperando che anche i giovanissimi possano finalmente apprezzare i vantaggi del Teorema Mirabilis di Gallo ed amare di più la matematica con lo spirito critico e fantasmagorico di Homer simpson! Solo una piccola correzione su una tua svista: è l’Ultimo Teorema di Fermat ad essere un caso particolare del Teorema Mirabilis di Gallo, ma sono siuro che volevi dire proprio questo! Ancora grazie e Ciao! Andrews

    • Ops, hai ragione Andrews, grazie per la correzione!
      Fa davvero piacere sapere che ci sono stati degli italiani coinvolti nel risolvimento dei grandi teoremi (irrisolti o meno) della matematica.
      Dietro ad Homer Simpson e alle su formule ci sono mesi di lavoro da parte degli sceneggiatori, che tra l’altro sono dei professionisti, laureati in Matematica ad Harvard, con tesi di dottorato o master. Quindi, a me va tutto il loro rispetto.
      Homer rimane un grande.

      Ti ringrazio di cuore per il tuo commento, per me è un modo per imparare sempre qualcosa di nuovo. E spero lo sia anche per i lettori di Tutti Dentro.
      Ciao Andrews! Sabrina

  7. […] https://tuttidentro.wordpress.com/2009/06/24/homer-simpson-ci-prova-col-teorema-di-fermat/ […]

  8. ULTIME SCOPERTE MATEMATICHE
    RISOLTO l’ VIII PROBLEMA DI HILBERT -FINALMENTE DIMOSTRATA L’IPOTESI DI RIEMANN!

    Con il suo TEOREMA RH-MIRABILIS DI GALLO, di solo sette righe, risalente al 10 marzo 2005, ma pubblicato solo cinque anni dopo (mercoledi 14 marzo 2010), “ il più semplice dei più semplici teoremi delle Matematiche” , come l’ha definito il suo Autore, il matematico italiano Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina) , con un’ingegnosa applicazione del suo noto Teorema Mirabilis , ha ottenuto la prima originalissima dimostrazione a livello mondiale ad opera di un unico autore della celebre Ipotesi di Riemann (VIII Problema di Hilbert), cha ha costituito per oltre un secolo e mezzo l’ “enigma degli enigma” per l’intera comunità dei matematici ad ogni latitudine.
    Il TEOREMA RH-MIRABILIS DI GALLO sfrutta una ben nota proprietà di simmetria degli zeri di Riemann non banali della funzione zeta di Riemann ( da taluni definita “il mostro”).
    Per avere ragione del “ mostro” di Riemann Onofrio Gallo costruisce la funzione complessa di simmetriadi Gallo a partire da una generica soluzione non banale del “mostro”, dimostrando
    che qualsiasi zero complesso non banale z=x+iy (x,y reali non nulli) della funzione zeta di Riemann dev’essere del tipo z=1/2+iy , ossia che. per ogni z, la parte reale di z deve giacere sulla cosiddetta “retta critica”di Riemann x=1/2. L’ “impossibile” impresa è stata compiuta dal matematico cervinarese mediante l’applicazione di una “doppia simmetria”.
    La prima già scoperta da Riemann nel 1859( se ζ(s)=0 , anche ζ(1-s)=0, con s ed 1-s zeri complessi non banali di Riemann).
    La seconda scoperta dallo stesso Onofrio Gallo nel 1993 (Teorema Mirabilis di Gallo con il quale ha ottenuto la prima dimostrazione di tipo DIRETTA a livello mondiale, in solo sei pagine, ad opera di un solo autore dell’altrettanto celebre Ultimo Teorema di Fermat).
    La dimostrazione del Teorema RH-Mirabilis segue quella del Teorema RH (2004) già depositato nel 2004 presso l’Accademia Norvegese delle Scienze e delle Lettere che fa uso della funzione “fi” di Gallo e che dimostra l’RH in base ad una doppia applicazione al Principio di Disidentità di Gallo e d in base al suo Secondo Principio Generale della Conoscenza ( costituito in questo caso dal Principio d’Identità dei Polinomi). Entrambi i “teoremi RH” di Gallo si trovano nella Sezione Congetture del suo Codex Cervinarensis.
    News a cura di Umberto Esposito, per gentile concessione dell’Autore.

  9. Ed ecco la brevissima dimostrazione dell’RH.
    TEOREMA RH-MIRABILIS DI GALLO (ex-Ipotesi di Riemann)
    “Con z≠1, x ed y reali non nulli, se z=x+iy è uno zero non banale della funzione zeta ζ(s) di Riemann, allora ζ(s)=0 e ζ(1-s)=0 se, e solo se, Re(z)=1/2”
    DIM.: Al generico zero di Riemann z=x+iy della funzione zeta di Riemann ζ(s) resta associata la funzione complessa di simmetria di Gallo (1) F(z)=(z-x)/y.
    Per il Teorema Mirabilis di Gallo, essendo per ipotesi ζ(s)=0 e ζ(1-s)=0 , ne segue che dev’essere soddisfatta la seguente condizione di simmetria di Gallo (CSG) F(s)= -F(1-s).
    Ed essendo F(s)= (s-x)/y da un lato ed F(1-s) =(1-s-x)/y dall’altro, ne segue, per la (CGS), che dev’essere (s-x)/y = -(1-s-x)/y , vale a dire x=Re(z) =1/2.
    Pertanto, essendo per ipotesi s ed 1-s anch’essi zeri di Riemann, per quanto dimostrato,deve risultare anche Re(s)=Re(1-s)=1/2, che è quanto volevasi dimostrare.
    Attenzione: La presente dimostrazione è stata depositata in sede opportuna ed è coperta dal diritto d’Autore , pertanto è vietato riportarne per intero o in parte il testo senza il consenso scritto dell’Autore; tuttavia è ammesso citare sia il contenuto in forma sintetica o indiretta con l’obbligo di citare in ogni caso l’Autore e la fonte.
    A cura di Umberto Esposito , per gentile concessione dell’Autore

  10. DAL PREMIO WOLFSKEHL ALL’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT- IL MATEMATICO ONOFRIO GALLO SPIEGA IL PERCHE’ DEI FALLIMENTI DI INTERE GENERAZIONI DI MATEMATICI (I/IV)
    “A prima vista una “congettura” è come un imputato “in attesa di un giudizio capitale”: se l’imputato è giudicato “colpevole” viene condannato a morte ( la “congettura” sulla sua innocenza è falsa); se, d’altra parte, tale imputato viene giudicato “innocente2, allora è ”assolto” ( la “congettura” sulla sua innocenza è vera); ma in matematica esistono anche “congetture” né vere e né false, ossia indecidibili, per cui l’eventuale “imputato” di turno potrebbe attendere anche per tutta l’eternità senza mai conoscere il verdetto finale.
    L’ UltimoTeorema di Fermat, prima del nostro Teorema Mirabilis, era un “imputato matematico” del quale non si sapeva quale sarebbe stato il verdetto finale: vero, falso o indecidibile?” (O.Gallo, L’enigma di Fermat)

    “Il Premio Wolfskehl era stato voluto, mediante un considerevole finanziamento, a scapito degli eredi, sin dal 1906, dal matematico dilettante e industriale di Darmstadt, Paul Wolfskehl, che, grazie all’Ultimo Teorema di Fermat, diventò un “mancato suicida” in seguito a una profonda depressione causata da una grave crisi amorosa in cui era piombato per il rifiuto oppostogli da una donna rimasta misteriosa.
    Proprio qualche ora prima del suicidio (fissato con pignoleria tedesca con un colpo di pistola alla tempia al preciso scoccare della mezzanotte) il povero Paul aveva estratto un libro dalla sua biblioteca, non si sa se per puro caso o per sua scelta, che trattava dell’Ultimo Teorema di Fermat.
    Cominciò a leggere e, quasi senza accorgersene, la sua attenzione e la sua concentrazione furono tali che dopo alcuni minuti si era addentrato nei labirinti della stroncatura da parte del matematico E. E. Kummer (1810-1893) delle dimostrazioni dell’UTF fornite a suo tempo da Gabriel Lamé (1795-1870) e da Augustin Louis Cauchy (1789-1857).
    Sempre più convinto di avere individuato una lacuna logica nell’assunto di Kummer, perse la testa nella speranza di ottenere la gloria prima di morire, nel caso il ragionamento di Kummer fosse risultato errato.
    Fu talmente preso dalla sua dimostrazione della falla nella nave della logica di Kummer, che aveva dimostrato la falsità dell’estensione da parte di Lamé agli interi ciclotomici del Teorema Fondamentale dell’Aritmetica ( scomposizione unica in fattori primi di un intero), al punto che i minuti trascorsero così veloci da non accorgersi neppure dello scoccare della mezzanotte.
    Quando guardò l’ora, la mezzanotte era trascorsa da un bel po’ e alla sua voglia di suicidio era subentrata una forte voglia di vivere.
    Ma, col passare dei giorni, egli si rese conto che nel ragionamento di Kummer non vi era stata alcuna falla, per cui, anche se, aveva fallito da matematico dilettante nel suo intento, fu ben felice di essere ancora vivo e, per ringraziare la matematica che gli aveva salvato la vita, volle istituire il premio omonimo; anche se con quell’atto non pensava certo che il suo nome sarebbe stato ricordato tra i posteri per l’effetto domino che si era esteso fino ai matematici del XX secolo a seguito della spinta sinergica causata, da un lato, dalla implicita e sferzantelanciata da Fermat ( risalente al XVII secolo)e, dall’altro lato, dall’istituzione dello stesso Premio Wolfskehl.
    Intere generazioni di matematici, nell’intento di ottenere una dimostrazione generale dell’UTF, finirono con l’ampliare su vari fronti la all’UTF causando il conseguente sviluppo ed ampliamento delle conoscenze matematiche precedenti, anche se le vittime, illustri e non, in tale plurisecolare e snervante furono decine e decine di migliaia.
    Non per nulla a Gottingen le dimostrazioni dell’UTF sono misurate in metri cubi di fascicoli contenenti centinaia di migliaia di scritti sull’argomento.
    In quella valle di Giosafat, rappresentata da quei metri cubi di tali scritture, giacciono, senza distinzione dal punto di vista dei fallimenti, intere generazioni di matematici di ogni paese e di ogni tipo e, tra essi, come in un vero e proprio , tra le centinaia di migliaia di vittime dell’UTF , è possibile scorgere, tra le altre, le lapidi dedicate ai fallimenti di numerosi matematici di valore, oltre a quelle, oltre una dozzina, dedicate agli illustri fallimenti di grandi matematici.”
    News a cura di Umberto Esposito, per gentile concessione dell’Autore, sperando di fare cosa gradita ai visitatori di questo eccezionale sito.

  11. ERRATA CORRIGE Per un disguido nel testo precedente sono saltati dei termini virgolettati che qui riproponiamo anche in maiuscolo: l’ampliare su vari fronti la”GUERRA”all’UTF/Non per nulla a Gottingen le “FALSE” dimostrazioni dell’UTF/un vero e proprio “CIMITERO DI GUERRA”, tra le centinaia. A cura di Umberto Esposito,

    • Grazie di cuore, Umberto, per i Suoi commenti, molto dettagliati. Dei veri e proprio articoli.
      Sabrina

  12. FROM WOLFSKEHL AWARD TO FERMAT’S LAST THEOREM – THE MATHEMATICIAN ONOFRIO GALLO EXPLAINS WHY ‘OF THE FAILURES OF GENERATIONS OF MATHEMATICIANS(I / IV)
    “At first glance a “conjecture ” as a defendant is ” awaiting a capital trial “, if the defendant is judged ” guilty ” is sentenced to death (the” conjecture “on his innocence is false), if ,moreover, such an accused is found “innocent”, then “discharged” (the “conjecture” on his innocence is true), but in mathematics there are “suppositions” neither true nor false, or undecidable, so the’ any “defendant” on duty could also wait for all eternity without ever knowing the final outcome. The Fermat’s Last Theorem before our Mirabilis Theorem, was a “mathematical accused” to whom no one knew what would be the final verdict: true, false or undecidable? “(O. Gallo, The riddle of Fermat “) TheWolfskehl Award was wanted by a substantial financing, to the detriment of the heirs, since 1906, the mathematician and amateur industrial Darmstadt, Paul Wolfskehl which, thanks Fermat’s Last Theorem (FLT), he became an” attempted suicide following a deep depression caused by a serious crisis in which love had fallen for such a refusal by a mysterious woman remained. Just a few hours before the suicide (fixed with German fastidiousness with a gunshot to his head at precisely the stroke of midnight) poor Paul had taken a book from his library, do not know whether by chance or choice, which involved the Fermat’s Last Theorem. He began to read, and almost without realizing it, his attention and his concentration was such that after several minutes had gone into the labyrinths of harsh criticism by the mathematician E: E. Kummer (1810-1893) of the FLT demonstrations given at the time by Gabriel Lamé (1795-1870) and Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Increasingly convinced of having identified a gap in logic in the assumption of Kummer, lost his head in the hope of glory before he died, in the case of Kummer’s reasoning was incorrect result. He was so taken by his demonstration of the flaw in the logic ship Kummer, who demonstrated the falsity of the extension by the Lamé to cyclotomic integers of the fundamental theorem of arithmetic (unique decomposition in prime factors of an integer), so that the minutes spent fast enough not to notice even before midnight. When looked at the time, midnight had passed a lot ‘and his desire for suicide was replaced by a strong will to live. But as the days passed, he realized that the argument of Kummer there had been no leak, so even if he had failed in its attempt to be an amateur mathematician, he was happy to be alive and to thank the mathematics that had saved his life, wanted to establish the award of the same name; even if the act did not mind that his name would be remembered in posterity for the domino effect that would have extended up to the mathematicians of the twentieth century as a result of synergistic thrust caused, first, the implicit and lashing “Challenge” launched by Fermat (XVIII century) and, secondly, by the same Wolfskehl Award. Whole generations of mathematicians, in order to obtain a general proof of the FLT, ended up on several fronts expand the “war” FLT causing the subsequent development and extension of previous mathematical knowledge, even if the victims, both famous and not in this age-old and unnerving “war” were tens and tens of thousands. Not for nothing in Göttingen the “false” proofs dell’FLT are measured in cubic feet of files containing hundreds of thousands of writings on the subject. In the valley of Jehoshaphat, represented by those cubic meters of such records, for no distinction in terms of failures, generations of mathematicians in every country and every kind, and among them, as in a real “,”War Cemetery”, among hundreds of thousands of victims of the FLT, you can see, among others, the failure of many monuments dedicated to mathematical value beyond that, over a dozen dedicated to the distinguished failures of great mathematicians.” News from the Codex Cervinarensis by Onofrio Gallo (b. 1946 in Cervinara, Caudina Valley, Italy) by Umberto Esposito, courtesy of the author.

  13. una buona calcolatrice? non serve proprio…

    la prima volta era il primo numero primo a rendere giustizia al Teorema di Fermat mentre nella seconda equazione tocca al secondo: si vede benissimo che il primo membro dell’equazione è divisibile per 3 mentre il secondo no.

    è forse stato uno scherzetto degli autori?

  14. DAL PREMIO WOLFSKEHL ALL’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT- IL MATEMATICO ONOFRIO GALLO SPIEGA IL PERCHE’ DEI FALLIMENTI DI INTERE GENERAZIONI DI MATEMATICI (II/IV)
    “La Congettura di Fermat, formulata verosimilmente da Pierre de Fermat(1601-1665) nel 1637, lo stesso anno che vide nascere la Geometria analitica di Réné Descartes in un’ appendice al Discours de la Méthode (Discorso sul Metodo), anche se è certo che Fermat aveva preceduto di almeno sette anni lo stesso Descartes in tale scoperta ( ma non aveva pubblicato tale sua scoperta), l’UTF , verso la fine degli anni ’70 del XX secolo costituiva ancora uno dei più famosi problemi “irrisolti” della matematica che nessuno sapeva come affrontare.
    A tale scopo si rivelarono inutili i metodi di Kummer e i vari tentativi di dimostrare l’UTF per un numero infinito di esponenti primi.
    In quello stesso periodo si avvertiva in pieno lo “scacco matto” che Fermat aveva dato non solo a i suoi contemporanei, ma anche ai posteri.
    Pertanto non restava che un’unica via da percorrere, visto che quelle battute o conducevano in una foresta selvaggia e impraticabile sul piano della logica necessaria a risolvere il problema fermatiano o tout court tali strade conducevano spesso in vicoli ciechi.
    Qual era l’”unica” via da percorrere per uscire dall’ impasse?
    Occorreva un concetto rivoluzionario e perciò radicalmente “nuovo” rispetto alla tradizione e rispetto alla stessa evoluzione in materia.
    Un’evoluzione che molto lentamente e sottilmente aveva trascinato coloro che si erano occupati dell’UTF nelle sabbie mobili logico-operative, causando ( secondo i punti di vista) delle “evoluzioni” o progressi in campi paralleli della matematica, pur causando nel contempo un’”involuzione” per quanto riguarda la ricerca di una dimostrazione generale (possibilmente di tipo “diretta”)dell’UTF.
    Ma, nonostante ciò, a quel tempo (ma anche in seguito per altri aspetti) gli “accademici”, in linea generale, benché le loro argomentazioni non fossero “esclusive”, oltre a ritenere per certa un’impossibilità di fondo relativa alla ricerca di una dimostrazione generale dell’UTF di tipo “semplice”, erano pienamente convinti anche del fatto che qualsiasi dilettante non sarebbe mai stato in grado di dimostrare neppure uno dei casi “risolti” dell’UTF : per n=3,5,7…, volendo escludere i primi regolari di Kummer, con l’implicito assunto che tale “impossibilità” sarebbe stata per loro una “garanzia” per il futuro delle loro ricerche sull’UTF.
    In altri termini solo “uno di loro” sarebbe stato baciato dalla gloria.
    Il fatto è che, prima di essere baciato dalla gloria, l’eventuale “solutore” dell’enigma racchiuso a quel tempo nell’UTF, doveva necessariamente essere baciato dalla fortuna!
    Difficilmente dunque, pensavano allora i cosiddetti “esperti” di Teoria dei Numeri, qualche novello Fermat, munito di qualche semplice arco e di frecce per nulla “avvelenate” sul piano della logica avrebbe potuto sottrarre loro l’ambita preda: la dimostrazione a livello generale dell’UTF.
    Sarebbero stati essi- come prevedevano allora- a tendere , una volta per tutte, prima o poi, la trappola mortale all’UTF. Ne erano pienamente convinti.
    Ma se i grandi matematici fallirono e se alcuni di essi sbagliarono in taluni casi clamorosamente nella ricerca di siffatta dimostrazione ( Eulero nel caso n=3; Gauss e Dirichlet nel caso n=7 e Lamé nel caso n=11, per non citarne che alcuni), i matematici del XX secolo errarono del tutto nella loro”previsione”. “

    E infatti, aggiungiamo noi, la gloria per la prima e originale dimostrazione generale a livello mondiale per via diretta dell’UTF sarebbe toccata, non certo al duetto degli “accademici” inglesi Wiles-Taylor, come comunemente si crede, autori di una dimostrazione per via indiretta contestata dell’UTF ( pubblicata nel 1995), ma – e noi ne siamo fermamente convinti- tale gloria spetta di diritto al matematico Onofrio Gallo “non accademico” ( per sua scelta, che come Gauss, costretto insegnare per ragioni vitali, odiava insegnare, se non in talune circostanze particolari) che, oltre a dimostrare per primo l’UTF in modo diretto, è stato anche il primo matematico a dimostrare, come conseguenza del Teorema Zeta-Mirabilis di Gallo, in solo sette righe (Teorema RH-Mirabilis di Gallo) l’Ipotesi di Riemann.
    Non per nulla Onofrio Gallo, come matematico “non accademico” ha avuto illustrissimi precursori in tal senso: Archimede (287?-212 a.C.), Diofanto (III sec. d.C.), Pierre de Fermat (1601-1665), Niels Henrik Abel (1802-1829), Evariste Galois (1811-1832), per non citare che alcuni tra i più noti grandi matematici “non accademici” che hanno fatto la Storia delle Matematiche.
    Lo stesso Onofrio Gallo nel suo Codex Cervinarensis (Sezione Congetture) così prosegue:
    “ Con argomentazioni derivanti dall’aver dimostrato (e si tratta dell’unica dimostrazione di Fermat) su un margine della sua copia dei sei/tredicesimi dei libri dell’Arithmetica di Diofanto, l’”impossibilità” che l’area di un triangolo rettangolo sia uguale ad un quadrato perfetto, Fermat dimostrò la validità dell’UTF nel caso n=4 e, di conseguenza, anche per tutti i valori dell’esponente n= 4k ( k intero >0).
    Ignoriamo se Fermat, per il caso n=3, conoscesse o meno il risultato dovuto al matematico arabo Al- Khawam : “un cubo non può essere la somma di due cubi”, confermato anche da O. Khayyam. Ma, volendo servirsi del suo “metodo della discesa infinita”, lo stesso Fermat avrebbe dovuto necessariamente dimostrare l’UTF nel caso (minimo) n=3, ossia che (F3) x^3 + y^3 = z^3 non ammette alcuna soluzione intera positiva (a, b, c), con a<b<c, al pari di x<y2 , l’equazione di Fermat x^n+y^n=z^n non ammettendo alcuna soluzione formata da interi positivi consecutivi(x, y, z) = (x, x+1, x+2), né alcuna soluzione di interi positivi non consecutivi (x, y, z)=(x, x+a, x+b), con a>1, b>2 e a<b, non ammetteva alcuna soluzione intera positiva (x, y, z) con x, y , z distinti tra loro..
    Il che avrebbe consentito a Fermat, col suo metodo della discesa infinita, di dimostrare a livello generale in modo elementare e diretto la validità della sua “congettura “, ossia dell’UTF. “
    News dal Codex Cervinarensis di Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina) a cura di Umberto Esposito, per gentile concessione dell’Autore.

  15. FROM WOLFSKEHL PRIZE TO FERMAT’S LAST THEOREM – THE MATHEMATICIAN ONOFRIO GALLO EXPLAINS WHY ‘OF THE FAILURES OF GENERATIONS OF MATHEMATICIANS(II / IV)
    “Fermat’s conjecture, made probably by Pierre de Fermat (1601-1665) in 1637, the same year that saw the analytic geometry of René Descartes in the ‘appendix to Discours de la Methode (Discourse on Method), also it is certain that Fermat had at least seven years before the discovery of Descartes in that (but had not published his discovery that), the Fermat’s Last Theorem, in the late 70s of the twentieth century was still one of the most famous problems “unresolved ” in mathematics that nobody knew how to deal with. To this end proved unsuccessful methods Kummer and various attempts to demonstrate the FLTfor an infinite number of prime exponents In that same period was felt in full the “checkmate” that Fermat had not only his contemporaries but also for posterity. Therefore nothing remained but a single way forward, because those jokes or led into a forest wild and impractical in terms of logic required to solve the Fermat’s problem or outright stop those roads often led to dead ends.What was the ‘only’ route to go down ‘impasse?They needed a revolutionary concept and so radically “new” compared to the same tradition with modern developments in this area. An evolution that slowly and subtly dragged those who were employed of the FLT in the quicksand logical operations, causing (according to points of view) of “development” or progress in parallel fields of mathematics, while causing a ‘devolution’ with regard to finding a general proof (possibly type “direct”) of the FLT. But, nevertheless, at that time (but later for other things) the “academic” in general, though their arguments were not “exclusive”, as well as to consider some background concerning the impossibility finding a general proof of FLT “simple”, were fully convinced of the fact that any amateur would never be able to demonstrate even a case “solved” of the FLT: for n = 3,5,7 … Focusing on the first regular Kummer, with the implicit assumption that this “impossible” for them was a “guarantee” for the future of their research on the FLT.. In other words only “one of them” would be blessed by glory. The fact is that, before being blessed by glory, any “solver” enigma enclosed at that time into the FLT, had to be kissed by luck! Hardly so, then thought the so-called “experts” of Number Theory, some “new Fermat” and having some simple bows and arrows for nothing “poisoned” in terms of logic could steal their coveted prey demonstration in general of the FLT. They were then provided as-a-stretch once and for all, sooner or later, the FLT death trap.It was fully convinced. But if the great mathematicians failed and if some of these were wrong in some cases dramatically in the search for such evidence (Gauss and Dirichlet in the case n = 7 ; Lamé and Cauchy in the general case), not to mention some), the mathematicians of the twentieth century wandered around in their “prediction”. In fact, we add, the glory for the first and original general proof worldwide via direct of the Fermat’s Last Theorem would be affected, not the duet of “academic” English Wiles-Taylor, as is commonly believed, authors of a demonstration indirectly challenged of FLT (published in 1995), but – and we are firmly convinced that glory-rightfully the Italian mathematician Onofrio Gallo “non-academic” (by his choice, like Gauss, forced vital reasons for teaching “, hated teaching, except in certain circumstances), in addition to demonstrating for the first the FLT directly, was also the first mathematician to prove, as a consequence of Zeta-Mirabilis Theorem of Gallo, in just seven lines (RH-Mirabilis Theorem of Gallo) the Riemann Hypothesis. Not for nothing Onofrio Gallo as math “non-academic” had illustrious forerunners in this respect: Archimedes (287? -212 BC), Diophantus of Alexandria (third century. AD), Pierre de Fermat (1601-1665), Niels Henrik Abel (1802-1829), Evariste Galois (1811-1832), not to mention that some of the most famous mathematicians “non-academic” who made the history of mathematics. The same Onofrio Gallo in his Codex Cervinarensis (Section Conjecture) continues:
    “”With claims arising from having proved (and this is the proof of Fermat) on the margin of his copy of the six / thirteenth books of Diophantus Arithmetica, the ‘impossible’ that the area of a triangle is equal to a perfect square, Fermat proved the validity of FLT in the case n = 4 and, consequently, for all values of the exponent n = 4k (k integer> 0).
    We do not know if Fermat, for the case n = 3, knew or not the familiar result due to the Arab mathematician Al-Khawam, “a cube can not be the sum of two cubes”, also confirmed by O.Khayyam.
    But, wanting to use his “method of infinite descent”, the same Fermat would necessarily demonstrate the FLT if (minimum) n = 3, namely that the diophantine equation (F3) x^3 + y^3 = z^3 admits no solution in positive integers (a, b, c) with a <b <c, like x <y 2, the Fermat equation x ^ n + y^ n = z ^ n admits no solution consists of consecutive positive integers (x, y, z) = (x, x +1, x +2), nor any solution of non-consecutive positive integers (x, y, z) = (x, x+1, x+2), and nor any solution of non-consecutive positive integers (x, y, z) = (x, x+a, x+b), where a> 1, b> 2 and <b, did not admit any positive integer solution (x, y, z) with x ≠ y ≠ z..
    That would have allowed Fermat, in his method of infinite descent, to show a general level in elementary and direct the validity of his "conjecture", ie FLT.”

    News from the Codex Cervinarensis by Italian mathemacian Onofrio Gallo (b. 1946 in Cervinara, Valley Caudina Valley- Italy) by Umberto Esposito, courtesy of the author.

  16. Cara Sabrina non posso che ringraziarti, anche a nome del Prof. Onofrio Gallo per l’accoglienza riservata agli articoli relativiI alle riflessioni che hanno condotto il mateamtico cervinarese alla prima e originale dimostrazione di tipo DIRETTA dell’Ultimo Teorema di Fermat ( caso particolare del suo Teorema Mirabilis) e al PERCHE’ DEI FALLIMENTI DI INTERE GENERAZIONI DI MATEMATICI. Purtroppo tali riflessioni esigono un po’ di spazio. ma ti assicuro che vale la pena seguirle fino in fondo 8 cosa che faranno con piacere, mi auguro, anche i lettori del tuo brillante sito, anche quelli di lingua inglese!). A presto. Un cordiale saluto. Umberto esposito

    • Caro Umberto, quelle che hai lasciato sono riflessioni interessanti e che meritano di essere pubblicate. Ti ringrazio per aver creduto in questo blog, nato dalla passione di un gruppo di astronomi, fisici, matematici nell’osservare il nostro mondo e stupirsi per le meraviglie che vi sono.
      Grazie, questa è anche casa tua.
      Un cordiale saluto, a presto. Sabrina

  17. DAL PREMIO WOLFSKEHL ALL’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT- IL MATEMATICO ONOFRIO GALLO SPIEGA IL PERCHE’ DEI FALLIMENTI DI INTERE GENERAZIONI DI MATEMATICI (III/IV)
    Ma in che modo Onofrio Gallo , da solo e per primo al mondo, ottenne la “prima”dimostrazione generale diretta ed originale dell’UTF?
    Da quanto egli scrive in proposito possiamo riassumere quanto segue.
    Egli si era sempre chiesto come mai tutti i matematici, nessuno escluso, grandi o meno che fossero, non avessero affrontato in modo globale la Congettura di Fermat , alias Ultimo Teorema di Fermat, alias Grande Teorema di Fermat o UTF.
    Lo stesso Eulero, già nell’anno 1753 ( in una lettera a Goldbach datata 4 agosto) sosteneva di aver dimostrato il caso n=3 dell’UTF, ma la prima pubblicazione della sua (presunta) dimostrazione, sempre per il caso particolare n=3, non apparve che ben 17 anni dopo (nel 1770 a Pietroburgo), nel suo Wollstandige Anleitung zur Algebra.
    Anche se la dimostrazione di Eulero conteneva un errore, rimediato per un colpo di fortuna dallo stesso Eulero ; in quanto solo per caso (-3)^(1/2) è una delle nove radici quadrate di interi che conservano la fattorizzazione unica per i numeri complessi a+ b(-3)^(1/2) adoperati da Eulero e, dunque, per quanto il ragionamento di Eulero fosse di natura analogica , la della fattorizzazione (per n=3) “conservò” la “correttezza” del suo ragionamento.

    Fu in tal modo che Eulero riuscì a dimostrare l’UTF nel caso particolare n=3.
    Nello stesso errore (questa volta “fatale”) cadde il matematico francese G. Lamé (caso n=11): estensione della fattorizzazione unica degli interi( o Teorema dell’unicità della scomposizione in fattori primi di un intero composto) ai cosiddetti “interi ciclotomici”.
    Infatti, a partire da Eulero che (chissà perché?) aveva cominciato con il dimostrare l’UTF nel caso particolare n=3, tutti gli altri grandi matematici che lo seguirono, convinti di poter estendere a livello generale la loro dimostrazione dell’UTF relativa al caso particolare affrontato per n>3, non fecero altro che continuare a dimostrare l’UTF in altri casi particolari con tecniche specifiche, valide per il singolo caso, ma non estendibili agli altri casi, al punto che per tale via non avrebbero potuto mai ottenere alcuna dimostrazione generale della Congettura o Ultimo Teorema di Fermat.

    Cosa che si verificò puntualmente nel corso di oltre tre secoli e mezzo di studi e ricerche molto profonde.
    Molto probabilmente fu per un effetto domino innescato inconsciamente dallo stesso Eulero, ma indubbiamente rafforzato dai ragguardevoli risultati ottenuti da Kummer, che dimostrò l’UTF per tutti i primi minori di 100 (un’impresa considerata epica anche in seguito , ma che tuttavia non condusse alla tanto agognata dimostrazione generale dell’UTF ), che vari matematici di valore, ispirandosi anche ad un teorema di Sophie Germain (1776-1831), si applicarono alla dimostrazione dell’UTF per alcuni valori di n.
    Come Legendre (caso n=5) e Dirichlet (caso n=5 e caso n=14, mentre, come Gauss, fallì nel caso n=7), per non parlare dello stesso Gauss che era al corrente dei risultati della Germain e che ripetutamente cercò di dimostrare a livello generale l’UTF sulla base della suaTeoria delle congruenze, anche se tale teoria, la sua preferita, come si vedrà, doveva rivelarsi impotente allo scopo.
    Le ricerche di Kummer sfociarono nei cosiddetti numeri ideali.
    Ma solo nel 1847 Kummer riuscì a dimostrare l’UTF per gli esponenti primi p regolari (numeri primi che non dividono i numeratori dei cosiddetti numeri di Bernoulli) minori di 100 , esclusi i valori irregolari 37, 59 e 67, più tardi “addomesticati” sempre da Kummer sulla base di condizioni più generali della “regolarità” di un numero primo.
    Ma ancora oggi s’ignora se i primi regolari siano infiniti: il che, in ogni caso, non avrebbe certamente consentito a Kummer di ottenere una dimostrazione generale dell’UTF.
    Scrive a tal proposito il matematico italiano Onofrio Gallo (in un suo articolo intitolato L’enigma dell’Ultimo Teorema di Fermat del 1996):
    “L’errore che commisero i grandi matematici, Kummer compreso, per oltre tre secoli e mezzo, fu quello di non aver rivolto la loro attenzione ai casi in cui i valori dell’esponente n dell’equazione di Fermat (F) risultano minori di 3, cioè il caso n=1( x + y = z equazione diofantea lineare) ed il caso n=2
    ((P) x2 + y2 = z2 equazione diofantea quadratica o pitagorica).
    Essi dunque trascurarono del tutto i casi n=1 ed n=2, fondamentali per una eventuale di “eventuali” dimostrazioni trovate per questi casi “elementari” al “caso generale.
    Così facendo, come già osservato altrove, finirono per “dimostrare” l’UTF in numerosi casi particolari.”

    L’unico matematico in grado di ottenere una dimostrazione generale dell’UTF, secondo Onofrio Gallo, avrebbe potuto essere il princeps mathematicorum, K.F.Gauss, in quanto l’unico a possedere una profonda conoscenza, sia pure in geometria, di una logica non euclidea, ma più di Gauss, fu – come vedremo- Cauchy che si avvicinò a un concetto-chiave che avrebbe potuto condurlo a costruire una logica non euclidea in campo algebrico”

    E così prosegue lo stesso Gallo:
    “Ma i “cavalli di battaglia” di Gauss furono le “congruenze” (non a caso ben cinque delle sette parti delle sue Disquisitiones Arthmeticae (1801) trattano delle congruenze) ed egli era fortemente convinto che una dimostrazione generale dell’UTF , se esisteva, dovesse essere una facile conseguenza della sua Teoria delle reciprocità di ordine superiore (fondata proprio sulle congruenze ), come dimostrarono anche le interconnessioni trovate da Kummer tra tale teoria e l’UTF.

    Fu per tale motivo che lo stesso Gauss non si curò mai di indagare e di ricercare qualche tipo di logica non euclidea in campo aritmetico. E sempre per tale motivo, allorché Olbers in una sua lettera affermò:
    “Mi sembra ben fatto, caro Gauss, che vi ci applichiate”, scrivendogli da Brema sul concorso a premio relativo alla dimostrazione generale o alla confutazione dell’UTF che nel 1816 l’Accademia di Parigi aveva proposto, Gauss (reduce da un infruttuoso tentativo di dimostrare l’UTF nel caso particolare n=7, lo stesso in cui era fallito anche Dirichlet) fece la sua famosa dichiarazione sull’UTF :

    “Vi sono molto riconoscente delle vostre notizie relative al premio di Parigi, ma vi confesso che il teorema di
    Fermat, come proposizione isolata, è poco interessante per me, perché potrei enunciare facilmente una quantità di proposizioni simili, che nessuno potrebbe provare né confutare”
    e, ancora:
    “E sono convinto inoltre che se la fortuna mi assiste, come oso sperare, e se riesco a fare qualcuno dei passi essenziali in questa teoria [si riferisce alla Teoria delle reciprocità di ordine superiore], il teorema di Fermat apparirà come uno dei corollari meno interessanti”
    Ma la fortuna, che non gli era necessaria affatto, non fu dalla sua parte, perché ogni problema ha una sua chiave di lettura.
    La “chiave “ da noi trovata per dimostrare in modo diretto e originale – a livello generale – l’Ultimo Teorema di Fermat fu caratterizzata dalla creazione dal nulla di un nuovo e rivoluzionario tipo di logica non euclidea, per la prima volta nella Storia delle Matematiche, ottenuta in ambito aritmetico.
    Si tratta del “primo passo” impossibile, come mostreremo, per tutti i matematici che sino ad allora si erano occupati dell’UTF, compresi gli stessi Wiles e Taylor. “
    News dal Codex Cervinarensis di Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina) a cura di Umberto Esposito, per gentile concessione dell’Autore.

  18. FROM WOLFSKEHL PRIZE TO FERMAT’S LAST THEOREM – THE MATHEMATICIAN ONOFRIO GALLO EXPLAINS WHY ‘OF THE FAILURES OF GENERATIONS OF MATHEMATICIANS(III / IV)
    But how Onofrio Gallo, alone and first in the world, won the “first” direct and general and original proof of the Fermat’s last Theorem?
    From what he writes about can be summarized as follows.
    He had always wondered why all mathematicians, without exception, they were great or not, had not comprehensively addressed the Fermat’s conjecture, alias Fermat’s Last Theorem , alias the Great Fermat or FLT.
    The same Euler as early as 1753 (in a letter to Goldbach dated August 4) claimed to have proved the case n = 3 of FLT, but the first publication of his (alleged) proof, again for the special case n=3 which appeared 17 years later (in 1770 at St. Petersburg), in his Wollstandige Anleitung zur Algebra .
    Although the demonstration of Euler presented an error, cured by a stroke of luck from the same Euler as by chance alone (-3) ^ (1 / 2) is one of nine square roots of integers that preserve the unique factorization for complex numbers a + b (-3) ^ (1 / 2) used by Euler and, therefore, as Euler’s reasoning was similar in nature, the preservation of the factorization ( for n = 3) “retained” the “exacteness” of its reasoning.
    So that Euler was able to demonstrate the LTF in the particular case n = 3.
    Same error (this time “fatal”) fells the French mathematician G. Lamé ( for n = 11 ): extension of single factorization of integers (or Theorem of the uniqueness of prime factorization of an entire compound) to so-called “cyclotomic integers.
    In fact, from Euler who( knows why?) begans demontrate the FLT in the particular case n = 3, all the other great mathematicians who followed him, convinced that they can extend their general level of proof of FLT on the particular case dealt with for n> 3, they did nothing but continue to demonstrate the FLT in other special cases with specific techniques that apply to the individual case, but does not extend to other cases, so that by these means would not could never get any general proof of the Conjecture or Fermat’s Last Theorem.
    This can happen on time in over three and a half centuries of study and deep research.
    Most likely it was a domino effect triggered by the same Euler unconsciously, but unquestionably strengthened by the remarkable results obtained by Kummer, who showed the FLT for all primes less than 100 (considered an epic even further, but which did not lead longed to the general proof of FLT), several great mathematicians value, also inspired by a theorem of Sophie Germain (1776-1831), apply to demonstration of LTF for some values of n.
    As Legendre (case n = 5) and Dirichlet (case n = 5 and case n = 14 , while, as Gauss, failed in the case n = 7), not to mention the same Gauss who was aware of the results of Germain “,”6) Come Legendre (caso n=5) e Dirichlet (caso n=5 e caso n=14, mentre, come Gauss, fallì nel caso and who repeatedly trieds to demonstrate in general the FLT based on hisTheoru of congruences, although this theory, his favorite, how we ‘will see, would be powerless to do this.
    Kummer’s research resulted in so-called ideal numbers.
    But only in 1847, Kummer was able to demonstrate the LTF for regular prime exponents p (prime numbers that divide numbers of so-called Bernoulli numbers) less than 100, excluding amounts irregular 37, 59 and 67, later “tamed” by Kummer based on more general conditions of “regularity” of a prime number.
    But still today is unknown if the regular numbers primes are infinites: which, however, would certainly not have allowed to Kummer to obtain a general proof of FLT.

    Writes in this regard Italian mathematician Onofrio Gallo (in an article entitled “The Enigma of Fermat’s Last Theorem “(1996):

    “The mistake that they committed the great mathematicians, Kummer including, for over three and a half centuries, was to not have turned their attention to cases in which the values of the exponent n of Fermat’s equation (F) are less than 3, that is the case n = 1 (x + y = z linear Diophantine equation) and the case n = 2 ((P) x2 + y2 = z2 Pythagoras or quadratic Diophantine equation).
    They completely neglected the cases n = 1 and n = 2, crucials for a possible “estensione”extension” of “any” proofs for these “ elementary” cases to “general” case.
    So doing, how just noted elsewhere, came to demonstrate the FLT in a lot of particular cases.”

    The only mathematician able to obtain a general proof of FLT, in the opinion of Onofrio Gallo, K. F. Gauss might be the princeps mathematicorum, as the only one with thorough knowledge, even in geometry, a non-Euclidean logic, but most of Gauss, was – as we shall see-Cauchy who approached a key concept that could lead him to build a non-Euclidean logic in algebra ”

    And so continues the same Gallo:
    “But the” workhorse “of Gauss were the” congruences “(in fact five of the seven parts of its Disquisitiones Arthmeticae (1801) deal with congruences) and he was strongly convinced that a general proof of FLT, if there, it should be an easy consequence of his Theory of reciprocity higher order (based on its congruences), as demonstrated by the interconnections between that found by Kummer between this theory and the FLT..
    It was for this reason that the same Gauss did not ever bother to investigate and seek some kind of logic in the field of non-Euclidean arithmetic. “,”12)Fu per tale motivo che lo stesso Gauss non si curò mai di And always for that reason, when Olbers in a letter stated : “It seems well done, dear Gauss, that you apply” writing from Bremen on the contest on the general proof or disproof of FLT that in 1816 the Academy of Paris proposed, Gauss (who has returned from an unsuccessful attempt to demonstrate the LTF in the particular case n = 7, where the same had failed even Dirichlet) made his famous declaration on the FLT:

    “I am very grateful for your news of the prize in Paris, but I confess that the theorem
    Fermat’s theorem, as a proposition isolated, is not very interesting for me because I could easily set forth a number of similar propositions, which nobody could prove or disprove
    “and further:
    “And I’m convinced that if assists me luck as I dare to hope, and if I can do some of the essential steps in this theory [refers to the theory of reciprocity higher order], Fermat’s theorem will appear as a corollary less interesting.”

    But fortune, that he was not needed at all, was not on his side, because every problem has its own interpretation.
    The “key” that we found to demonstrate a direct and original – in general – Fermat’s Last Theorem was characterized by the creation from nothing of a new and a revolutionary type of non-Euclidean logic, for the first time in the History of Mathematics obtained within arithmetic.
    This is the “first step” impossible, as shown, for all mathematicians who until then had dealt of the FLT, including the same Wiles and Taylor. ”
    News from the Codex Cervinarensis Onofrio Gallo (b. 1946 in Cervinara, Valley Caudina) by Umberto Esposito, courtesy of the author.

  19. DAL PREMIO WOLFSKEHL ALL’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT- IL MATEMATICO ONOFRIO GALLO SPIEGA IL PERCHE’ DEI FALLIMENTI DI INTERE GENERAZIONI DI MATEMATICI (IV/IV)
    Onofrio Gallo creò infatti la TTIE o Teoria delle Trasformazioni delle Identità in Equazioni nel1989.
    Si tratta di una teoria alla cui base opera una logica non standard, nel senso che i risultati che in essa si ottengono, da soli non sono utilizzabili nelle teorie matematiche fondate sulla logica ordinaria o euclidea
    Il “sogno” di un che liberasse coloro che lo avrebbero utilizzato dalla “schiavitù” del calcolo di radici quadrate e il “sogno” di una . Il primo, coltivato a lungo nel corso di circa tre millenni, e il secondo anch’esso coltivato per circa tre secoli dopo la scoperta delle formule risolutive delle equazioni algebriche di terzo e quarto grado da parte degli algebristi italiani, sembrò che divenissero entrambi realtà in Italia, rispettivamente, nel mese di agosto e nel mese di ottobre del 1993, lo stesso anno ( 23 giugno) in cui sembrò che un terzo “sogno”, quello della “dimostrazione generale dell’UTF” da parte di A. Wiles si fosse finalmente realizzato a Cambridge!
    Ma il primo “sogno” (“Italiano inventa nuovo teorema di Pitagora”, Corriere della Sera (17.VIII. 1993), la Repubblica, il Giornale, il Messaggero ed altri) , chiarito con una serie di oscuri articoli redatti da incompetenti apparsi su tali quotidiani, si rivelò una bolla di sapone; il secondo “sogno” ( amplificato, di nuovo, da quotidiani italiani a diffusione nazionale e persino da RaiUno ( la formula magica per risolvere equazioni algebriche di grado n si diceva fosse stata lasciata in eredità da parte di un cieco…), altro non fecero che accecare gli articolisti, sia della carta stampata, sia della TV; i primi addirittura per ben due volte!
    Del terzo “sogno” , quello di Wiles, anch’esso andato in fumo dopo alcuni mesi, nell’estate del 1993, abbiamo già riferito.
    Paradossalmente il destino ha voluto che sarebbe stato effettivamente un italiano colui che avrebbe realizzato i primi due sogni, ma nessuno avrebbe mai potuto immaginare che lo stesso destino avrebbe prescelto ancora una volta lo stesso matematico che avrebbe realizzato quindi tutti i tre “ sogni” con un solo colpo di bacchetta magica: il Teorema Mirabilis di Gallo ed al quale ognuno in cuor suo avrebbe voluto idealmente concedere il virtuale supremo “alloro matematico”.
    Le difficoltà nella ricerca di un nuovo tipo di logica non euclidea di tipo numerica sembravano insuperabili, in quanto è chiaro che si possono costruire un’infinità di logiche non euclidee di tipo aritmetico-algebriche e ciascuna di esse molto probabilmente avrebbe condotto in altrettanti infiniti vicoli ciechi e oscuri.
    Occorrevano dunque nuovi concetti su cui basare la rivoluzione logica necessaria per risolvere il problema di Fermat (la dimostrazione generale del suo UTF), se non si voleva restare impigliati nella ragnatela tessuta dai vari Fermat, Eulero, Legendre , Dirichlet, Lamé e Kummer, per limitarci solo a quei “ragni” matematici che più degli altri avevano contribuito a tracciare alcune delle linee discontinue della sconnessa geometria di siffatta ragnatela che nel corso dei secoli andava delineandosi sempre più in modo disarticolato e discontinuo, per cui sugli orizzonti del mare magnum della logica euclidea non s‘intravedeva alcuna rotta ben precisa continuando a navigare a vista ( come era avvenuto nei casi n=3, 4, 5, 14); per cui molto difficilmente le rotte intraprese avrebbero potuto indirizzare i ricercatori verso la scoperta di un nuovo continente logico che non si trovasse da tempo sotto l’impero bimillenario della logica euclidea.
    Occorreva pertanto un nuovo scopritore delle Americhe matematiche, un novello Cristoforo Colombo della logica, che, navigando con le sue tre caravelle ( la Fede, la Speranza e la Tenacia) combinando i riferimenti incerti delle stelle (le Identità)con i voli altrettanto incerti degli uccelli acquatici (le Equazioni), affidandosi unicamente a tali due incertezze potesse – con un’applicazione cosciente del suo Secondo Principio Generale della Conoscenza – finalmente approdare sugli sconosciuti litorali del nuovo e complesso continente numerico.
    Un continente in cui Euclide e la sua geometria non erano mai esistiti e il cui sovrano era il primo Essere strano, immaginario (la famosa unità immaginaria) che si era affacciato sotto le mentite spoglie di uno strano personaggio della matematica, l’unità immaginaria, appunto (-1)^(1/2), o readice quadrata di -1, sulla scena della “scienza esatta” del XVI secolo facendo la sua comparsa, per la prima volta, nella ben nota formula del Cardano relativa alle equazioni di terzo grado (casus irriducibilis)
    Tale sovrano immaginario si era mostrato sempre “elusivo” e persino beffardo- per quanto riguardava l’agognata dimostrazione generale dell’UTF- nei riguardi di intere generazioni di matematici ; in primo luogo, come s’è visto, nei confronti degli stessi Gauss e Cauchy.
    Anche se la partenza di Onofrio Gallo verso tale continente immaginario era avvenuta sin dal 1989, ufficialmente il suo approdo (la TTIE di Gallo)sul nuovo continente numerico non euclideo avvenne nel 1991, allorché apparve lo storico articolo“ Un nuovo filone nella ricerca matematica: dalle identità alle equazioni” di Onofrio Gallo, pubblicato sul mensile Oltre il 2000 ( n.1, Ottobre, 1991, Salerno, Italia), che, diffuso anche tra i docenti delle facoltà di Scienze Matematiche e d’Ingegneria di alcune Università italiane, avrebbe dovuto far riflettere (e non poco!) gli esperti sulla eccezionale scoperta matematica compiuta.

    Tale fondamentale scoperta da parte di Onofrio Gallo è del 1989; appartiene quindi al XX secolo, come si evince da un suo articolo scritto il giovedì 20 luglio 1989, ventesimo anniversario del primo storico allunaggio dell’uomo sulla Luna ( 20 luglio 1969) e nel contempo ”anno” della caduta del Muro di Berlino (riunificazione delle due Germanie); ma molto probabilmente tale anno in futuro potrebbe essere ricordato anche come l’anno della “scoperta delle scoperte” in campo matematico : per la prima volta un’identità veniva trasformata in un’equazione.
    Una scoperta che, se per certi versi potrebbe essere paragonata con la scoperta delle geometrie non euclidee nell’800 o, più recentemente, in Fisica atomica con la scoperta della fissione atomica nei primi decenni del XX secolo, essa tuttavia, per dare un’idea più precisa, dovrebbe essere paragonata, restando nel campo della Fisica atomica, non solo con la “scoperta”, ma anche con la conseguente “realizzazione” ( se ci fosse stata!) della cosiddetta “fusione fredda” tra i nuclei atomici con un procedimento originalissimo, al di là di ogni logica euclidea, che mirava, in realtà, a cogliere l’essenza della casualità attraverso le cosiddette Strutture casuali di Gallo a matrici simmetriche di ordine 3 ed in base alla quale il matematico cervinarese avrebbe dimostrato i tre più grandi enigmi matematici degli ultimi tre secoli e mezzo: l’Ultimo Teorema di Fermat, l’Ipotesi di Riemann (pubblicati) e la Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer (non pubblicata)..
    In tale articolo venivano presentati, per la prima volta a livello mondiale, i primi elementi della rivoluzionaria TTIE, sviluppata a partire dal 1989, ed uno degli esempi mostrava per la prima volta al mondo dei matematici l’equazione non standard di Gallo in ambito TTIE, corrispondente all’equazione pitagorica (P) x^2 + y^2 = z^2 .

    Così come A. L. Cauchy andò quasi vicino, per certi aspetti, al Principio di Disidentità di Gallo, ancora una volta un giovanissimo genio matematico francese sembrava aver avuto un barlume di intuizione su una teoria simile alla TTIE di Gallo.
    Si tratta del genio precoce di Evariste Galois.
    Ed infatti le idee di Galois, al di là della Teoria dei gruppi, erano così profonde che sarebbe un peccato omettere in questa occasione il seguente passo del suo pensiero, estrapolato dalla sua “ultima lettera” all’amico A. Chevalier del 29 maggio 1829, alcune ore prima del duello fatale:

    ”Le mie principali meditazioni, da qualche tempo, riguardavano l’applicazione della teoria dell’ambiguità all’analisi trascendente. Si trattava di stabilire a priori, in una relazione tra quantità o funzioni trascendenti, quali scambi si potessero fare, quali quantità si potessero sostituire alle quantità date, senza che la relazione potesse venir meno. Il che consente di riconoscere subito l’impossibilità di molte espressioni che si potrebbero cercare. Ma io non ho tempo, e le mie idee non sono ancora ben sviluppate su questo terreno, che è immenso.” (E. GALOIS)

    L’unica teoria attuale che sembra echeggiare e riprendere idealmente la “teoria dell’ambiguità” di cui parla Galois, che non pote’ svilupparla in modo approfondito per le note tristi vicende, è la TTIE o Teoria delle Trasformazioni delle Identità in Equazioni di Gallo, nata nel 1989, a circa 158 anni di distanza dalla stesura dell’”ultima lettera di Galois”: una teoria sbalorditiva e geniale, proprio come la “teoria dell’ambiguità” che Galois intendeva approfondire e sviluppare.

    La scoperta di tale teoria fu fatta da Onofrio Gallo mentre egli creava e approfondiva le Strutture Casuali Future Simmetriche di ordine 3, cioè le G3 (a11, a12, x), dove a11, a12, sono interi positivi casuali relativi all’evento casuale E(t) al tempo t e dove x (intero positivo) è il loro “successivo casuale “, ottenibile in linea teorica mediante la soluzione casuale futura di Gallo di una certa equazione algebrica casuale relativa all’evento casuale futuro E(t+1) al tempo “successivo” t+1, se l’Aritmetica fosse un sistema deduttivo “completo” e “coerente”.
    In altri termini se non fossero validi i due Teoremi di Gödel sulla logica euclidea e sui relativi sistemi ipotetico-deduttivi , i cui effetti in questo caso furono davvero sconvolgenti: si potrebbe …predire il futuro per via numerica! Pertanto nulla toglie che è possibile assumere il procedimento di Gallo come “seconda via” per dimostrare l’inconsistenza logico-operativa dell’aritmetica dei sistemi formali, essendo il suo procedimento del tutto equivalente ai risultati trovati da Godel per altra via.
    Gödel e l’aritmetica si pongono dunque, l’uno con i suoi teoremi e l’altra con i suoi limiti, rispetto alla possibilità di ottenere previsioni sul futuro per via algebrica in ambito casuale, proprio come si pose Ippaso di fronte ai Pitagorici con la sua scoperta dei numeri irrazionali in ambito numerico.
    Entrambi, Ippaso e Gödel, hanno elevato nella loro epoca le colonne d’Ercole delle impossibilità sul calcolo (nel discreto) e per via aritmetico-algebrica (Gödel), anche se lo stesso Gödel, in qualità di convinto assertore della profonda interconnessione che sussiste tra passato, presente e futuro
    -una posizione su cui si basa lo stesso Teorema di Cohen-Kong , sintetizzata nella frase
    ”Il presente, il passato e il futuro dell’universo sono solo differenti regioni di un unico spazio-tempo”- ebbe a scrivere, essendo anche convinto- al pari, dopo di lui, di Onofrio Gallo- sostiene che esiste la possibilità di prevedere il futuro con esattezza matematica, ivi comprese le azioni di una persona, affermando quanto segue:

    ” Non c’è contraddizione tra il libero arbitrio e il conoscere in anticipo il comportamento. Questa è la situazione di una persona che si conosce completamente. Uno non fa deliberatamente l’opposto di ciò che vuole”.
    Ma tali colonne d’Ercole sono state bypassate e quindi superate, sia pure completamente solo nel XIX secolo dalla costruzione dei numeri reali a partire dai numeri razionali ad opera di Julius Wilhelm Dedekind (1831-1916) (limiti posti da Ippaso) e verso la fine del XX (limiti posti da Gödel) con la nascita (1980-2000) della più grande teoria rivoluzionaria in matematica di tutti i tempi: la TMPECF o Mathemantics di Onofrio Gallo.
    Nel 1989, come s’ è detto, lo stesso Gallo aveva infatti già esteso la sua teoria rivoluzionaria anche all’equazione di Fermat (F) xn + yn = zn e, qualche anno dopo, era già in possesso della prima ed unica dimostrazione generale diretta dell’UTF (21 luglio 1991), e tuttavia, preso da altri impegni, non aveva in quel periodo intenzione di divulgare i sorprendenti e rivoluzionari risultati in suo possesso.
    Solo circa due anni dopo, pressato da alcuni colleghi ed amici ai quali aveva illustrato i suoi risultati, il 27 dicembre 1993, Onofrio Gallo decise infine di depositare la sua dimostrazione generale dell’UTF, contenuta nella memoria ( datata 21 luglio 1991) Sulla risolubilità delle equazioni diofantee del tipo (F) x^n+ y^n = z^n , di solo sei pagine, presso la Società Italiana degli Autori e degli Editori (SIAE) con sede in Roma, per tutelare i suoi diritti di autore, dal momento che la “preda” costituita da una dimostrazione generale ( e per giunta) per via diretta dell’UTF avrebbe fatto gola a chiunque .
    In seguito, il 27 ottobre 1994, Onofrio Gallo decise d’inviare una copia della sua dimostrazione generale dell’UTF, in lingua francese, la lingua di Fermat, al Dipartimento di Matematica dell’Università di Gottinga, diretto dal Prof. Frank Neumann, che, dopo aver esaminato (per circa quindici giorni) la prima dimostrazione diretta e originale a livello mondiale dell’UTF, in una sua lettera allo stesso Gallo, datata 4 novembre 1994, lo invitò a pubblicare la sua dimostrazione su una rivista prestigiosa, se voleva concorrere al Premio Wolfskehl presso l’Accademia delle Scienze di Gottingen.
    Il Teorema Mirabilis di Gallo, che effettivamente liberava dalla “schiavitù” del calcolo delle radici quadrate per quanto riguarda il Teorema di Pitagora, consentiva – non mediante una formula!, bensì mediante la funzione generale di simmetria di Gallo – di risolvere finalmente non solo equazioni algebriche di grado n (finito, anche implicite ed a più incognite nel continuo), ma nel contempo di risolvere nel discreto anche equazioni diofantee del tipo ax^r+by^s=cz^t , quelle diofantee polinomiali e, più in generale, tutte quelle ad esse riconducibili( con a, b, c, r (interi non nulli e r, s, t interi positivi (non tutti uguali, se a=b=c)) >(2,2,2) ed x, y, z interi non nulli.
    Nello stesso tempo, oltre il “superamento” del Teorema di Pitagora (come illustrato in precedenza), il Teorema Mirabilis di Gallo “dimostrava” altresì, in modo diretto ed originalissimo, per la prima volta nella Storia delle Matematiche, la Congettura di Fermat (1637).
    Finalmente, dopo circa 360 anni, la congettura di Fermat diventava un “teorema”: il Teorema Mirabilis di Gallo relativo alle più generali equazioni diofantee ax^r+by^s=cz^t del quale l’Ultimo Teorema di Fermat, per a=b=c=1 e per r=s=t=n intero positivo>2, altro non è se non un caso particolare.
    Per chiarire come Onofrio Gallo abbia compiuto una siffatta strabiliante e storica impresa seguiamo per intero l’”iter” da lui percorso.

    L’audacia dimostrata da Onofrio Gallo nell’interpretare in modo innovativo concetti, teoremi e risultati già noti o consolidati (ma non sempre ben compresi o approfonditi sul piano generale dai suoi predecessori e dai suoi contemporanei) nell’ottica di conseguire ulteriori e fecondi sviluppi, dai più ritenuti ”mpossibili”, si ritrova più volte nelle sue ricerche; come dimostrano almeno due casi esemplificativi: il concetto di numero primo e quello di unità immaginaria.
    Pertanto, se, da un lato, il “mistero” racchiuso nella definizione e nel concetto di numero primo, storicamente legato all’impossibilità di essere decomposto in fattori diversi dall’unità e da se stesso, è stato svelato ( dopo vari millenni) da Onofrio Gallo nel 1994, con la nascita della Teoria dei numeri primi armonici di Gallo; dall’altro lato, il “mistero” racchiuso nella definizione e nel concetto di unità immaginaria non era mai stato compreso, sviscerato in modo originale ed innovativo dai matematici (Gauss compreso) se non dopo che esso è stato con la nascita del Teorema Mirabilis di Gallo (1993), circa quattro secoli dopo la sua introduzione tra i “cosisti” italiani, fin dai tempi della Scuola algebrica italiana dei primi anni del ’500.
    A quel tempo si parlò e si scrisse dei numeri complessi in termini di numeri “falsi”, “silvestri”, “ immaginari”.
    In matematica sono frequenti i “parallelismi storici” : ad essi accenna, in vari suoi scritti, lo stesso Onofrio Gallo a proposito di taluni parallelismi ( relativi a vicende personali, teoremi e principi) con Archimede, Diofanto, Fermat, Galois, Cauchy, Gauss, per non citare che alcuni tra i altri grandi matematici di ogni tempo.
    Alla luce del Principio di Disidentità di Gallo relativo alla “i”, possiamo notare che sia Gauss e sia Cauchy hanno idealmente “sfiorato”, tale Principio di disidentità , sia pure da lontano e nell’ambito della teoria delle congruenze.
    E’ stato proprio questo “ambito congruenziale” che ha impedito di “vedere oltre l’orizzonte”, a Cauchy in particolare, quelli che potevano essere gli indizi per un cosciente avvicinamento graduale al Principio di Disidentità di Gallo.
    Se è vero che le nuove “i” di Cauchy rappresentavano per lui quantità reali indeterminate, è anche vero che da esse “mediante un processo di indicizzazione discreto” della variabile “i” egli avrebbe potuto attraversare il “tunnel” che dai numeri complessi conduce ai numeri interi ( questa volta senza percorrere alcuna via analitica). Diciamo che Gauss e Cauchy, insieme, non sono riusciti ad attraversare quel “tunnel” per la fitta “nebbia”( creata proprio dalla teoria delle congruenze!) che avrebbe impedito loro di scorgerne l’ingresso

    Tale “nebbia” sparisce all’istante se, anzichè passare da un’equazione E ad una equivalenza C (equivalenza sta per “congruenza”), si passa, con le stesse modalità ( perdita di identità della “i”), dalla E, considerata non più come equazione, alla corrispondente identità I se, in luogo della C, alla I si associa la corrispondente equazione E (associata di Gallo non standard ) nell’ambito della TTIE.
    Ma ci rendiamo conto che, effettivamente, né Gauss, né Cauchy avrebbero mai potuto costruire una TTIE con la quale “sostituire” la loro teoria delle congruenze.

    Storicamente questo poteva essere il “momento” più adatto per ricercare non una TTIE per attaccare frontalmente l’UTF, ma almeno per porre le basi di un vero Principio di Disidentità che consentisse l’attraversamento del “tunnel” che dai numeri complessi conduce ai numeri interi.
    In altre parole è stato il mancato attraversamento di quel “tunnel” uno dei motivi fondamentali per cui sia Gauss che Cauchy, e dopo di essi tutti gli altri matematici, fallirono nella ricerca di una dimostrazione generale “diretta”dell’Ultimo Teorema di Fermat.
    Anche la dimostrazione congiunta e “indiretta” dell’UTF da parte di Wiles e Taylor non costituisce, a sua volta, un “attacco frontale” all’UTF, come già evidenziato altrove.
    In ogni caso quanto sopra dimostra a livello generale che le congruenze introdotte da Gauss in modo sistematico nella teoria dei numeri sono fondamentali, ma non sempre adatte a risolvere particolari tipi di problemi.”
    News dal Codex Cervinarensis di Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina) a cura di Umberto Esposito, per gentile concessione dell’Autore.

  20. FROM WOLFSKEHL PRIZE TO FERMAT’S LAST THEOREM – THE MATHEMATICIAN ONOFRIO GALLO EXPLAINS WHY ‘OF THE FAILURES OF GENERATIONS OF MATHEMATICIANS(IV / IV)
    Onofrio Gallo created in fact his theory TTIE ( Theory of the Transformations of Identities in Equations, 1989).
    It is a theory whose basic logic does not work a standard in the sense that the results that you get in it alone can not be used in mathematical theories based on logic or ordinary Euclidean.”,
    The “dream” of a new Pitagorean Theorem to liberate those who would use the “slavery” to calculate square roots and the dream of a .
    The first, grown long in the course of about three millennia, and the second also cultivated for about three centuries after the discovery of the formulas for solutions of algebraic equations of third and fourth degree by Italian algebraists, seemed to become both reality in Italy, respectively in August and in October of 1993, the same year (June 1993) when it seemed that a third “dream”, that of “general proof of the FLT by A. Wiles “, it was finally realized in Cambridge

    But the first “dream” (“Italian invents new theorem of Pythagoras,” Corriere della Sera (17.VIII. 1993), the Republic, the newspaper, the Messenger and others), clarified by a series of obscure articles written by incompetent appeared in such newspapers, proved a soap bubble, the second “dream” (amplified again by Italian newspapers with national circulation and even RaiUno (the magic formula to solve algebraic equations of degree n is said to have been left inherited by a blind man …) that did nothing but blind items, both print media, both TV, the first even twice!
    In the third “dream”, to Wiles, also went up in smoke after a few months in the summer of 1993, we have already reported.
    Paradoxically, the fate it was actually an Italian man who had made the first two dreams, but no one would ever have imagined that the same fate would have chosen again the same math that would have made then all three “dreams” with a only magic wand: the Mirabilis Theorem of Gallo which everyone in her heart she wanted to give virtual supreme ideal “mathematical laurel”.

    The difficulty in finding a new type of non-Euclidean logic type numbers seem insurmountable, as it is clear that one can construct an infinite number of logical non-Euclidean arithmetic-algebraic type and each of them would most likely have resulted in as many endless blind alleys and dark.
    It will take new concepts on which to base the revolution logic required to solve Fermat’s problem (the general proof of its LFT), if you do not want to be caught in the web woven by various Fermat, Euler, Legendre, Dirichlet, Lamé and Kummer to confine ourselves only to those “spiders” that most other mathematicians had helped draw some of the staple lines of uneven geometry of such a web that was taking shape over the centuries increasingly so disjointed and discontinuous, so the horizons of the sea of the Euclidean logic glimpsed any precise route continuing to navigate on sight (as had happened in the cases n = 3, 4, 5, 14) and hence very difficult routes taken could steer researchers toward the discovery of a new logical continent that they are not long millennium of the reign Euclidean logic.
    It is therefore a new mathematical discoverer of the Americas, a new Christopher Columbus of the logic, who, sailing with his three caravels (Faith, Hope and Tenacity) combining references uncertain of the stars (the identity) with the same flights uncertain of waterfowl (the equations), relying solely on those two uncertainties could – with an application aware of the Second Principle of General Knowledge – finally landing on unknown shores of the new complex numerical continent.
    A continent where Euclid and his geometry had never existed and whose ruler was the first Being strange imagery (the famous imaginary unit) that had appeared under the guise of a strange character of mathematics, the unit imaginary, exactly (-1) ^ (1 / 2), i.e. square root of -1, of the sixteenth century, making its appearance on the scene of the “exact science” for the first time in well-known formula of Cardano on cubic equations (casus irriducibilis).
    The imaginary sovereign had always shown “elusive” and even mocking, as regards the desired demonstration of the general proof of FLT in respect of generations of mathematicians, first, as we have seen, against the same Gauss and Cauchy.
    Although the departure of Onofrio Gallo towards this imaginary continent had occurred since 1989, officially its harbor (the Gallo’s TTIE ) on the new non Euclidean numerical came in 1991, when appeared the historic article “A new trend in mathematical research: from identity to equations” by Onofrio Gallo, published in the monthly Beyond 2000 (N. 1, October, 1991, Salerno, Italy), which also widespread among the Faculty of Mathematics and Engineering of some Italian universities, should make us think (and not a little!) experts on the great mathematical discovery made.
    This fundamental discovery by Onofrio Gallo occurrred in 1989; therefore belongs to the twentieth century, as evidenced by an article written Thursday, July 20, 1989, the twentieth anniversary of the historic first landing of man on the moon (July 20, 1969) and while “year” of the fall of the Berlin Wall (reunification of Germany), but most likely this year in the future it may be remembered as the year of “discovery of discovery “in mathematics: for the first time an identity was transformed in equation.

    A discovery that, in some ways be compared with the discovery of non-Euclidean geometries in the nineteenth century or, more recently, in Atomic Physics with the discovery of atomic fission in the early decades of the twentieth century, it nevertheless, to give a more precise idea, should be compared not only with the “discovery” but also with the resulting “output” (if there were!) the so-called “cold fusion” between the atomic nuclei with original proceedings, beyond all Euclidean logic, which aimed, in fact, to grasp the essence of randomness through the so-called Gallo’s random structures symmetric matrices of order 3 and under which the mathematician cervinarese proved the three greatest mathematical puzzles of the past three and a half centuries: the Fermat’s Last Theorem, the Riemann Hypothesis (published) and the Conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer (not published).
    In this article were presented for the first time worldwide, the first elements of revolutionary Gallo’ s TTIE , developed since 1989, and one of the examples showed for the first time in the mathematical world by the Gallo’s non standard equation in TTIE field, corresponding Pythagorean equation (P) x^2 + y^2 = z^2 .
    As Cauchy approached almost close, in some respects, the Gallo’s Unidentical Principle, once a young mathematical genius French seemed to have had a glimmer of insight on a theory similar to TTIE Gallo. This is the precocious genius Évariste Galois.
    And in fact the ideas of Galois theory beyond the groups were so deep that it would be a shame to omit on this occasion the following passage of his thought, extrapolated from its “last letter” to his friend A. Chevalier of May 29, 1829, several hours before the fatal duel:

    “My main meditatios, for some time, concerned the application of the theory of ambiguity to analysis transcendent.It was established a priori a relationship between quantity or transcendental functions, which exchanges could be done, which quantities you could replace to the given quantities, without the relationship would fail. ,Which can immediately recognize the inability of many expressions that you might find. But I have no time, and my ideas are not well developed on this land, which is immense. “(E. Galois)”.
    The only existing theory that seems to echo the spirit and return to the “theory of ambiguity” mentioned by Galois, who could not ‘develop in depth to the sad story notes, is the TTIE or Theory of Transformations of Identities in Equations, created by O. Gallo in about 158 years after the establishment of ‘Galois’ last letter “: a stunning and ingenious theory, just as the theory of ambiguity” that Galois intended to deepen and develop.
    The discovery of this theory was made by Onofrio Gallo while he created and deepened the Future Casual Symmetric Structures of order 3, i.e. the G3 (a11, a12, x), where a11, a12, are positive integers casual about the casual event E(t) at time t and where x (integer) is their “next random”, obtainable in principle by random future solution of Gallo of some random algebraic equation on future random event E (t +1) to time “after” t +1, if the Arithmetic was a deductive system “complete” and “consistent.
    In other words if they were not valid the two Theorems of Gö on Euclidean logic and its hypothetical-deductive systems, whose effects in these case were truly shocking: you could forecast the future by numerical way ! Therefore nothing remains that can take the procedure of Gallo as a “second way” to demonstrate the logical inconsistency of arithmetic operation of formal systems, as its case fully equivalent to the results found by Godel in any other way.
    Gödel and the arthmetic arise then, each with its theorems one with its limitations, regarding the possibility of obtaining estimates of the future by algebraic in random field, just as you put in front of the Pythagoreans Hippasus with its discovery of irrational numbers in numeric field.

    Both Hippasus and Gödel, in their time have raised the Pillars of Hercules on the impossibility of calculation (in discrete) and by algebraic-arithmetic (Gödel), although the same Gödel, as a firm believer in the deep interconnection that exists between past, present and future- a position which is based the same Theorem of Cohen-Kong, as summarized in the phrase:
    “The present, past and the future of the universe are just different regions of a single space-time” – he wrote, which is also convinced, like, after him, Onofrio Gallo- that there the ability to predict the future with mathematical accuracy, including the actions of a person, stating as follows :

    “There is no contradiction between free will and knowing in advance the behavior. This is the situation of a person who knows completely.One does not deliberately the opposite of what they want.

    But these pillars of Hercules were bypassed, and then overcome, albeit completely only in the nineteenth century by the construction of real numbers from rational numbers by Dedekind Julius Wilhelm (1831-1916) (limits set by Hippasus) and the late twentieth (limits set by Gödel) with the birth (1980-2000) the greatest revolutionary theory in mathematics of all time: the TMPECF or Mathemantics created by Onofrio Gallo

    In 1989, as s’ is said, the same Gallo had already extended his revolutionary theory also to Fermat’s equation (F) x^n + y^n = z^n, and a few years later, was already in possession of the first and only direct general proof of the FLT(July 21, 1991), yet, but other commitments at that time had not intention to disclose the results surprising and revolutionary in its possession.
    Only about two years later, under pressure from some colleagues and friends who had shown its results, December 27, 1993, Onofrio Gallo finally decided to file his general proof of the FLT contained in memory (dated July 21, 1991) On the solvability of the diophantine equations of type (F) x^n + y^n = z^n ( only six pages), at the Italian Society of Authors and Publishers (SIAE) based in Rome, to protect his copyright, since the “prey”, consisting of a general proof (and besides) by a direct way of the FLT would anyone throat.
    Further, 27 October 1994, Onofrio Gallo decided to send a copy of its general proof of the FLT in French, the language of Fermat, the Department of Mathematics University of Gottingen, led by Prof. Frank Neumann, who, after examination (for about fifteen days) the first direct demonstration and original worldwide of the FLT, in a letter to the same Gallo, dated November 4, 1994, invited him to publish his proof in a prestigious journal, if he wanted to compete Wolfskehl Award from the Academy of Sciences in Gottingen.

    The Gallo’s Mirabilis Theorem , who actually freed from the “slavery” of calculating square roots for the Pythagorean theorem, allowed – not by a formula!, but by the general function of symmetry of Gallo – to finally resolve not only algebraic equations of degree n (finite, also implied in the continuous and more unknowns), but while also solving the discrete equations of Diophantine type ax^r + by^s = cz ^ t, Diophantine polynomial ones, and more, in general, all those connected with them; with a, b, c, r integer not null and with (r, s, t) positive integers( not all equal) >(2,2,2)and with x, y, z nonzero integers.
    At the same time, beyond the “tolerance” of the Pythagorean theorem (as explained above), the Gallo’s Mirabilis Theorem “showed” also directly and very original for the first time in the history of mathematics, Fermat’s conjecture (1637).
    Finally, after about 360 years, the Fermat’s conjecture became a “theorem” , the Gallo’s Mirabilis Theorem on more general diophantine equations x ^ r + by = cz ^ s ^ t which the Fermat’s Last Theorem (FLT) , a = b =c=1 and r=s=t=n “, positive integer>2, is nothing if not the a particular case.
    To clarify how Onofrio Gallo has made such an amazing and historic undertaking to follow all the ‘process’ which he walked.
    The courage shown by Onofrio Gallo so interpreting innovative concepts, theorems and results already known or consolidated (but not always well understood or depth on the general plan by his predecessors and his contemporaries) in the achievement and further fruitful developments, considered the most “mpossible”, finds himself repeatedly in his research, as demonstrated by at least two case studies: the concept of prime number and the imaginary unit.
    Therefore, if, first, the “mystery” contained in the definition and concept of prime number, historically linked to the impossibility of being decomposed into several factors and the unit itself has been revealed (after several millennia) by Onofrio Gallo in 1994 with the birth of his Theory of harmonic prime numbers of Gallo), on the other hand, the “mystery” contained in the definition and concept of imaginary unit had never been understood, gutted in an original and innovative by mathematicians (Gauss included) until after it was with the birth of the Gallo’s Mirabilis Theorem (1993), some four centuries after its introduction among the italian “cosisti”, since the time of the Italian school of algebraic early ‘500. At that time they spoke and wrote of complex numbers in terms of numbers “false”, “scot”, “imaginary.”
    In mathematics are frequent “historical parallel” refers to them, in various writings, the same Onofrio Gallo about certain parallels Gall (relating to personal affairs, theorems and principles) with Archimedes, Diophantus, Fermat, Galois, Cauchy, Gauss, not to mention that some of the other great mathematicians of all time.
    In light of the Gallo’s Unidentical Principle of Gallo on the “i”, we note that both Gauss and Cauchy is ideally have “touched”, this principle, albeit from afar and in the theory of congruences.
    It ‘was this “congruential area” making it impossible to “see beyond the horizon,” Cauchy especially those that could be clues to a gradual and conscious approach to the Gallo’s Unidentical Principle While the new “i” Cauchy represented for him the real quantities undetermined, it is also true that they “crawl through a process of discrete” variable “i” he could cross the “tunnel” that from the complex numbers leads to integers (this time without taking a non analytical way).
    We say that Gauss and Cauchy, together, have failed to cross that “tunnel” for the thick “fog” (created by his theory of congruences!), which would have prevented them to make out the entrance.
    This “fog” disappears instantly if, instead of passing from an equation E to an equivalence C (the concept of equivalence stands for “congruence”), you pass the same way (loss of identity of the “i”), from E , no longer regarded as an equation, but as an identity I and if, in place of C, to I is associated the corresponding equation E (the non-standard Gallo’s associated equation) in the TTIE field.
    But we realize that, actually, neither Gaussian nor Cauchy could never build a TTIE with which “replace” their theory of congruences,

    Historically, this could be the “moment” to search for more suitable than a TTIE for attacking the FLT, but at least to lay the foundations of a true unidentical principle allowing passage through the “tunnel” that leads the complex numbers to integers.
    In other words, was the failure to cross that “tunnel” a key reason why is that Cauchy Gauss, and after them all other mathematicians, failed to find a general and “direct” proof of the Fermat’s Last Theorem .
    The joint demonstration and “indirect” of the FLT by Wiles and Taylor is not, itself, a “frontal attack” to Fermat’s conjecture, as already shown elsewhere.
    In each case above shows that in general congruences introduced by Gauss in a systematic way in number theory are fundamental, but not always suited to address particular types of problems.
    News from the Codex Cervinarensis Onofrio Gallo (b. 1946 in Cervinara, Valley Caudina) by Umberto Esposito, courtesy of the author.

  21. Cara Sabrina, la tua disponibilità e la tua generosità, doti rare di questi tempi, denotano intelligenza e apertura mentale non comune ed hanno suscitato ammirazione e apprezzamento non solo da parte mia, ma, debbo sottolinearlo, anche da parte di Onofrio Gallo.
    Il quale, idealmente, intende trasmetterti le parole dettate dal cuore e dall’intelligenza di un certo K.F. Gauss nei confronti di un certo “Monsieur Leblanc” (alias la grande Sophie Germain, matematico e fisico, appassionata e di valore ). Perché? La spiegazione non può che in parte essere fondata su elementi razionali. La più gran parte di essa rientrando nella sfera della sensibilità. In quanto Onofrio Gallo, oltre ad essere un matematico, è anche un poeta e, nel leggere quanto hai scritto, ha pescato nella sua memoria le ormai altrettanto celebri parole rivolte ad un pistolero indimenticabile da tre contadini messicani, che – partiti dal loro piccolo e assolato villaggio, sistematicamente sottoposto ad angherie, soprusi ed abusi di ogni tipo da una banda di desperados capeggiata da un violento sui generis – chiedevano protezione per sé, per le loro famiglie e i loro beni, ma soprattutto per la loro “libertà”.
    I contadini al pistolero: “ Noi ti offriamo tutto quello che abbiamo”. Il pistolero ai contadini:” Molti mi hanno offerto tanto,…ma mai “tutto!”. Il pistolero non solo accordò la sua protezione, ma reclutò un gruppo di sei uomini validissimi, e tutti insieme, “I magnifici sette”, non per i pochi dollari offerti dai contadini, ma per un principio-base inossidabile e insopprimibile in ogni essere umano, quello della libertà, accettarono di difendere gli abitanti di quel piccoolo e sperduto villaggio. Solo tre di essi si salvarono. Ma quei magnifici sette compirono un’ impresa eroica ed epica insieme; al punto che essi sono rimasti per sempre nei cuori degli spettatori del celebre film di John Sturges sorretto dalla superba colonna sonora di Elmer Bernstein.
    Il pistolero? L’impareggiabile Yul Brinner. Gli altri sei? Gli indimenticabili Steve Mc Queen, Charles Bronson, James Coburn, Robert Vaughn, Brad Dexter, Horst Helmoltz. Il capo dei desperados? L’ineguagliabile Eli Wallach. Senza dimenticare il saggio del villaggio, il grande Pedro Armendariz. Uomini che combatterono per altri uomini in nome della libertà. La tua casa, cara Sabrina, rappresenta in un certo senso quel villaggio di messicani. Noi e la matematica, insieme, rappresentiamo idealmente quei sette pistoleri-samurai che, in nome della libertà di pensiero e di espressione, conducono da tempo un’operazione di formazione e d’informazione per alimentare, in particolare, la fiammella della passione per la matematica. La regina delle scienze. E, più in particolare, per l’Algebra e per la Teoria dei Numeri, a sua volta, la regina delle matematiche, che ha l’ammaliante volto dell’Analisi diofantea. Un’ ammaliatrice che ha trascinato intere generazioni sulle orme dell’inafferrabile e sfuggente Ultimo Teorema di Fermat del quale, prima dell’avvento dei Teoremi Mirabilis di Gallo, neppure i più esperti erano riusciti a comprendere i motivi essenziali di tale inafferrabilità. Lo stesso dicasi per le altre congetture dimostrate in modo originalissimo da Onofrio Gallo. Questa premessa era doverosa. Se la tua “casa”, messa a disposizione della matematica, tradizionale e non, è bella, ben arredata ed accogliente, il merito è solo tuo. I nostri interventi ? Nelle nostre intenzioni vorremmo che ne costituissero gli arazzi, i preziosi e gli ornamenti di valore sui quali si spandessero le note originali di una dolce musica dei numeri mai ascoltata in precedenza da nessuno. Gli uni e l’altra nella speranza che contribuiscano a realizzare le tue e le nostre aspirazioni: accrescere il patrimonio culturale in ambito matematico e appassionare i giovani; invitandoli, con la fantasia, il buon senso e l’acume di Homer Simpson & family, nell’ampio e luminoso salotto “matematico” messo a disposizione dalla padrona di casa per gli ospiti passati, presenti e soprattutto per quelli futuri. I quali, personalmente, credo saranno tanti, tantissimi. E’ un augurio anch’esso meritato e doveroso! E’ in ogni caso convinzione mia e del Prof. Gallo che i matematici debbano parlare e discutere sempre e solo di matematica. I maggiori equivoci tra matematici? Nascono soprattutto quando essi s’impregnano di politica e di corporativismo (o“casta”). Ma il più grave peccato mortale di cui possa macchiarsi un matematico resta sempre quello di occuparsi di religione o, il che è lo stesso, di metafisica. Discipline che occorre lasciare, senza se e senza ma, rispettivamente, ai teologi ed ai filosofi di professione. Il più grande errore in assoluto che un matematico possa commettere? E’ quello di occuparsi incoerentemente di logica e nel contempo di religione! Non per nulla la logica sta alla religione come il diavolo sta all’acqua santa. Logica e religione sono semplicemente inconciliabili. Ma è altrettanto vero che, prima ancora dei teologi, sono proprio i grandi matematici quelli che, toccando con mano il concetto di infinito, riescono a” parlare direttamente con Dio”. Del resto, storicamente parlando, la “scienza” religiosa non è forse figlia della “scienza “ matematica? Matematicamente parlando nessuno può definirsi ateo da un punto di vista strettamente logico , o, cosa peggiore e imperdonabile, da un punto di vista strettamente logico-matematico. O, in Occidente, definirsi illogicamente “non cristiano”, anche contestando le basi della tradizione cristiana. O, più in generale, “non credente” nell’ambito extracristiano. E non per un fatto di dogmi. E’ lecito e possibile definirsi tutt’al più “ semi-credenti”, ma mai, in ogni caso completamente atei! Della qual cosa il matematico cervinarese ha trovato, da qualche parte, nel suo monumentale Codex Cervinarensis, una mirabile dimostrazione che non può essere contenuta nella ristrettezza del margine logico delle menti di coloro che pensano che ciò possa costituire semplicemente una” boutade” o un paradosso. Ogni riferimento a persone o fatti realmente avvenuti o che avverranno in futuro al riguardo è puramente casuale. Eppure dovete credere in quello che vado riportando. Anche se non sono e non sarò mai un profeta!
    Un cordiale saluto a Sabrina da parte mia e da parte del Prof. Gallo che, ancora una volta, debbo ringraziare per il suo coinvolgente “humour” (da cui spesso mi faccio anch’io volentieri contagiare)e la sua direi quasi proverbiale disponibilità a diffondere, in nome del progresso, con chiarezza i suoi principi, le sue teorie e i suoi teoremi in modo magistrale ed ineguagliabile, mai disgiunto dalla sua squisita sensibilità, propria degli spiriti grandi. A presto! Umberto Esposito.

  22. IL TEOREMA MIRABILIS DI GALLO

    Diophantine poetics

    If you think that your diophantine method is ridiculous
    Use the Gallo’s Mirabilis Theorem for your diophantine calculus…
    Then, beyond the euclidean logic,
    On the integers you can solve, as by magic,
    Yours problems anyway as miraculous.
    Anonymous.

    Il miglior modo di introdurre il Teorema Mirabilis di Gallo?
    E’forse quello di pensare ad un grande matematico francese, non necessariamente del gruppo Bourbaki, che ne illustrasse sinteticamente il contenuto nei seguenti termini:
    “ Immaginate due ipotetiche lavagne. Sulla prima troviamo elencato quanto segue:
    I Teorema di Pitagora (P) x^2 + y^2 = z^2
    II Congettura di Fermat o UTF (F) x^n + y^n ≠ z^n se n>2 (con n , x, y, ,z interi positivi )
    III Teorema di Gallo sulla Risolubilità delle equazioni algebriche di grado n >4 (l’equivalente del Teorema di Ruffini-Abel) e le condizioni per la risoluzione dell’equazione algebrica generale completa di grado n finito.
    IV Teoria dei Gruppi Risolubili di Galois per la risoluzione delle equazioni algebriche di grado n ( stabilire se un’equazione algebrica E di grado n è risolubile senza costruire alcun gruppo relativo alla E)
    V Teoria delle frazioni continue (accantonamento di tale metodologia)
    VI Risoluzione senza tentativi, senza radicali, o senza l’uso delle frazioni continue delle equazioni algebriche di grado n finito o diofantee lineari e non.
    VII Risoluzione senza tentativi dei problemi dei quadrati congruenti ( di grado 2), già affrontati dal Fibonacci ( il qulae, però, non riuscì mai a trovare una formula risolutiva generale) costituiti da sistemi di quarto grado del tipo y2 – x2 = C ; y2 – z2 = -C’ , con C e C’ interi positivi dove C- C’ =0 ; e, sempre senza tentativi, dei problemi di quasi congruo di Gallo, rappresentati da sistemi di grado n^2 (con n>2) : y^n – x^n = C ; y^n – z^n = -C’ con 0 ≠C -C’ = minimo
    VIII Gettare un ponte tra la matematica del continuo e la matematica del discreto sulla base di un unico teorema.
    IX Impossibilità di calcolare i 2k ( k intero positivo) cateti di un triangolo rettangolo, una volta assegnata la sola ipotenusa ( o un cateto e l’ipotenusa, una volta assegnato l’altro cateto).
    X. Teorema Fondamentale dell’Algebra (“demonstratio mirabilis” di Gallo)
    XI. VIII Problema di Hilbert o Ipotesi di Riemann
    XII. X Problema di Hilbert relativo alle equazioni diofantee polinomiali di grado n finito in due incognite
    XIII. Congettura di Swinnerton-Dyer e risoluzione dei problemi di area-congruo (determinazione di triangoli rettangoli a lati razionali)
    XVI. Congettura di Goldbach e sua generalizzazione
    XVII. Congettura sui numeri primi gemelli.
    Immaginate ora che sulla seconda lavagna campeggi al centro la scritta “Teorema Mirabilis di Gallo”. Che cosa pensereste?
    Potreste pensare che un docente disattento abbia dimenticato di proseguire l’elencazione di ciò che intendeva elencare omettendo l’ordinale romano XVIII…ma non è affatto così!
    La seconda lavagna sta ad indicare che il Teorema Mirabilis di Gallo sostituisce i teoremi e le teorie, annulla le impossibilità e risolve (senza tentativi, senza radicali e senza l’uso delle frazioni continue) quanto elencato sulla prima lavagna.
    A questo punto come definireste il Teorema Mirabilis di Gallo?
    Il Teorema Divino? Il Divin Teorema? Il Teorema unificatore?….
    Il suo autore, il matematico italiano Onofrio Gallo (n. 13.V.1946 a Cervinara, Valle Caudina), lo ha semplicemente definito Teorema Mirabilis, in onore del nostro connazionale, il giudice tolosano Pierre de Fermat, il “re dei dilettanti” come ebbe a definirlo E.T.Bell nel 1937, esattamente tre secoli dopo l’enunciazione della sua celeberrima Congettura , ora finalmente diventata, una volta per tutte, l’Ultimo Teorema di Fermat o UTF.
    Occorre però precisare che l’Ultimo Yeorema di Fermat è un caso particolare (per a=b=c ed r=s=t=n) del Teorema Mirabilis di Gallo ( relativo alle più generali equazioni diofantee del tipo (FF) ax^r + by^s = cz^t ) che ha unificato e superato sia il Teorema di Pitagora ( calcolo di due lati, noto il terzo lato di un triangolo rettangolo), sia lo stesso UTF, anche in termini qualitativi ( col Teorema Mirabilis si detrminano anche le soluzioni intere negative e non solo quelle positive cercate da Fermat). Il matemtico cervinarese, come riportato altrove, dell’UTF ha fornito, oltre a due dimostrazioni “elementari”, la prima dimostrazione generale di tipo” diretta” in assoluto a livello mondiale, ad opera di un solo autore, sin dal 27 dicembre 1993, successivamente depositata anche a Gottingen nell’Ottobre 1994 e ad Oslo nel 2004. Lo stesso matematico, sempre in base al suo Teorema Mirabilis, ha fornito la prima dimostrazione diretta dell’Ipotesi di Riemann, dimostrando che la parte reale degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann è costante e vale ½ e dimostrando, altresi’, che è impossibile determinare “a priori ” il valore della parte immaginaria y degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann. Per brevità… tralasciamo il resto. Mi fermo qui.”
    News dal Codex Cervinarensis, per gentile concessione dell’Autore.

  23. PIERRE DE FERMAT
    (I/III)
    Da Fermat ai nostri giorni.

    Il francese Pierre Fermat (de Fermat a partire dal 1631), definito da E.T. Bell “ il principe dei dilettanti” ( il titolo di “re dei dilettanti” spetta di diritto al matematico indiano Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920)) , nacque il 20 agosto 1601 a Beaumont-de-Lomagne, non lontano da Tolosa, figlio di un commerciante di cuoio.
    La sua biografia evidenzia una formazione culturale permeata dalla lettura e dallo studio dei classici, non dissimile da quella degli altri sudiosi del suo tempo (scriveva in latino e in greco, conosceva anche l’Italiano e lo spagnolo e componeva versi in tali lingue), ma indubbiamente più profonda ed acuta.
    Studiò infatti con passione la letteratura classica, incluse le opere di matematici antichi che spsso emendava e integrava con le sue osservazioni e aggiunte.
    Oltre a restaurare tali testi, riuscì persino a ricostruire dei capitoli di alcune opere dell’antichità ormai perdute unicamente in base ad informazioni contenute in altre opere.
    Come nel 1636, ad esempio, nel caso dei De locis planis (Luoghi piani del matematico Apollonio Perge o di Perga ( III-II sec. a.C.), sulla base di vaghi riferimenti contenuti nella “ Collezione matematica” di Pappo (III-IV sec. d.C.),
    Fermat trascorse quasi tutta la sua vita nella città di Tolosa, dove dapprima fu avvocato e poi, diventato giureconsulto, ricoprì la carica di Consigliere del Parlamento di quella città.
    Letterato e giurista, appassionato cultore di matematica e fisica, serio e profondo studioso di autori antichi come Apollonio di Perge ( circa 200 a.C.), Pappo, Aristeo, Euclide ed altri; e di autori moderni di matematica, soprattutto François Viète (1540-1603), fu in corrispondenza con numerosi matematici e studiosi dell’epoca, pur non essendo egli un matematico di professione.
    Dal 1628, ma forse anche prima, cominciò a farsi notare per alcune sue scoperte fondamentali.
    Non andò mai a Parigi, anche se nel 1636 avrebbe voluto “trovare qualche occasione per trascorrere tre o quattro mesi a Parigi”; né s’incontrò mai con Blaise Pascal, anche se nel 1660, per reciproche ragioni di salute, avrebbero dovuto incontrarsi come scriveva Fermat “da qualche parte a metà strada tra Clermont e Tolosa”; e, sempre nel 1660, per gli stessi motivi, neppure s’incontrò con Christiaan Huygens che allora si trovava a Parigi.
    Secondo molti, Fermat è stato il più grande matematico del XVII secolo.
    Vediamo quali furono i suoi contributi al progresso della matematica e della fisica.
    1)Dopo gli antichi greci Eudosso di Cnido ( prima metà del IV sec. a.C.)e Archimede (287-212 a.C.), Fermat è stato tra i primi precursori moderni del calcolo infinitesimale (tangent, quadrature delle aree di figure piane, volumi, lunghezze di curve, centri di gravità).
    Fu in possesso (già a partire dal 1628) di un metodo generale per la risoluzione di problemi di massimo e di minimo, consegnato quasi subito nelle mani del suo intimo amico Etienne d’Esoagnet, ma conosciuto solo verso il 1663 e dal quale lo stesso Newton prese spunto per elaborare il suo “calcolo delle flussioni”, ponendo in tal modo le basi del calcolo infinitesimale integrale (calcolo delle aree) e differenziale (calcolo delle tangenti ad una curva).
    Il trattato di Fermat era intitolato “Metodo per trovare i massimi e i minimi” ( i “luoghi” espressi, ad esempio, da equazioni del tipo y=x^r sono detti “parabole di Fermat” se n>0; oppure “iperboli di Fermat”, se n<0. A tale riguardo riuscì, per “passi” successivi, a calcolare il lim (f(x+E)-f(x))/E per E tendente a zero, che equivale, per Δx=E, alla nostra “differenzizzione” di una funzione di una variabile reale.
    In tal modo scoprì anche il procedimento per la determinazione della tangente ad una curva della forma y=x^r.
    L’anno succesivo, nel 1629, Fermat anticipò B. Cavalieri (1589 ca.-1647) nel concepire un teorema relativo al calcolo di un’area compresa tra curve del tipo y=x^r.
    Ad esempio, calcolò l’area del rettangolo curvilineo di base inferiore (0,a), sull’asse delle ascisse, e avente per base superiore un tratto della curva y=x^r, avente per lati verticali due segmenti , uno parte dell'asse delle ordinate e l'altro parallelo allo stesso asse,. In tal modo calcolò l’integrale definito di y=x^r per x variabile in (0,a). Tale area vale (a ^(n+1))/(n+1) unità quadrate. In seguito estese il suo metodo al caso n= r/s (esponente razionale). Anche se non vi riuscì nel caso n=-1.
    Poco mancò perché Fermat non si avvicinasse alla scoperta del Teorema Fondamentale del Calcolo infinitesimale.
    Non s’accorse che per trovare le tangenti (calcolo differenziale) alla curva y=x^r (espressa nella nostra notazione) la sua derivata prima è y’=rkx^(r-1), mentre per trovare le aree (calcolo integrale) si eleva l’esponente di 1 e si divide il coefficiente k per il nuoovo esponente (r+1), equivalente al calcolo dell’odierno integrale indefinito di kx^r, dato da (1/(r+1))kx^(r+1) a meno di una costante additiva C.
    I due problemi sono nella relazione R : “ l’uno è l’inverso dell’altro”.
    Ma Fermat, anche se aveva studiato esclusivamente la funzione y=x^r e sebbene la R sarebbe dovuta apparire quasi evidente ( in seguito all’analisi fatta da Cartesio circa alcuni problemi (che Padre M. Mersenne gli propose verso il 1638 , già formulati da F. Debeaume (1601-1652), anch’egli giurista e matematico di una certa esperienza), non approfondì oltre l’argomento.

    2) Fermat ha dato inizio con Girolamo Cardano(1501/06?-1576) e Blaise Pascal (1623-1662) alla Teoria delle Probabilità, istituendone i principi fondamentali.
    3) In fisica, ha anche formulato il principio del tempo minimo per i raggi luminosi, in base al quale è possibile dedurre tutte le leggi dell’ottica.
    4) Fermat forse nel 1629, in ogni caso non oltre il 1636, scoprì il “principio base” della Geometria analitica e fu il primo ad inventare la “geometria delle coordinate” nel suo Ad locos planos et solidos isagoge (Introduzione ai luoghi piani e solidi) pubblicato postuno.
    Il principio base era il seguente: tutte le volte che nell’equazione finale appaiono due incognite, si ottiene un “luogo geometrico”, ossia un insieme di punti che godono “tutti” della stessa proprietà, mentre una delle incognite “descrive” una retta o una curva.
    Tale enunciato, che sembra derivato da un’applicazione dell’analisi di F. Viète (1540-1603) allo studio dei “luoghi” di Apollonio, precede di un anno l’opera fondamentale “La Géomètrie” di Réné du Perron Descartes o Cartesio (1596 – 1650, avvelenato) , pubblicata nel 1679, anche se essa circolava già da tempo tra i matematici di allora.
    Fermat, pur non usando ascisse negative, in quanto operava solo nel primo quadrante, scoprì gli enti fondamentali di tale disciplina, riuscendo a rappresentare rette, cerchi, parabole, iperboli e determinando i rami delle curve che “vanno all’infinito”. Sapeva anche “traslare” gli assi coordinati riuscendo a semplificare l’equazione iniziale.
    Sottolineò anche il fatto che le equazioni di terzo e quarto grado sono risolubili tramite la Teoria delle Coniche.
    Fermat, come Cartesio, pensò alla possibilità di “costruire” una geometria analitica a più di due dimensioni.
    Per i problemi a tre incogniti egli parlava di “luoghi superficiali”, formati cioè, invece che da punti e da linee, da “superfici”.
    Nello stesso anno, aprile 1636, Fermat entrò in contatto con padre Marin Mersenne (1588-1648 , celebri i numeri primi di Mersenne , ma ancora oggi non si sa se ve ne sono in numero infinito) ed in seguito, direttamente o indirettamente, con i maggiori matematici e scienziati dell’epoca, tra cui: Jean de Beaugrand (verso il 1630), che probabilmente lo iniziò alle matematiche in quel di Bordeaux(forse si conobbero a casa dei coltissimi d'Espagnet), Cartesio (tra il 1637 e il 1638), il cartesiano Claude de Clerselier (1614-1686), Bernard Frénicle de Bessy (1605-1675), Pierre de Carcavy o Carcavi (1600-1684)(a partire dal 1631), che, alla morte di Mersenne, nel 1648, gli subentrò nel ruolo di intermediario scientifico; Gilles Personne de Roberval (dal 4 aprile 1637), Étienne (1588-1651) e Blaise Pascal ( estate 1654), Pierre Gassendi (1592-1655), erudito, filosofo e fisico, professore di matematica al Collège Royal, uno dei maggiori rappresentanti della “nuova scienza”; compresi (a partire dal 1657)quelli inglesi, tra cui John Wallis (1616-1703), Sir Kenelm Digby (1603-1665), filosofo e diplomatico, uno dei fondatori della Royal Society (1663), compreso il filosofo Thomas Hobbes (1588-1679).
    ;quelli olandesi, come Frans van Schooten (1615-1660), Christiaan Huygens (1629-1695), e quelli italiani, tra cui B. Cavalieri (1598-1647), Galileo Galilei (1564-1642), E..Torricelli (1608-1647), ed altri.
    Nel 1637 Fermat inviò a Parigi, su pressante richiesta dei sui amici parigini, il suo Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum (Metodo generale per la determinazione delle tangenti ad una curva piana) insieme all’Isagoge, in cui, come detto, anticipa la stessa Géometrie di Réné du Perron Descartes o Cartesius o Cartesio ( 1596-1650).
    Il furore matematico di Fermat, considerato a ragione il fondatore della moderna Teoria dei Numeri, in quanto prima di lui, la tradizione, risalente ai Greci, imponeva l’uso dei metodi geometrici nelle dimostrazioni aritmetiche, sembra sia iniziato a Bordeaux secondo alcuni verso la fine del decennio 1610-1620, ancor prima di laurearsi in Diritto ad Orléans, essendo a quell’epoca amico intimo per molti anni di Étienne d’Éspagnet (1596? -?), Consigliere a Bordeaux fino al 1617, figlio di Jean d’Éspagnet, alchimista, che era già stato Presidente del Parlamento di Bordeaux e fornito di una ricchissima biblioteca alla quale Fermat ebbe la fortuna di poter accedere per le sue ricerche e i suoi studi matematici, arricchita da molti manoscritti del celebre matematico Francois Viète (1540-1603), già parlamentare locale, considerato il padre dell’algebra moderna.
    Molti di quei manoscritti erano inediti e furono pubblicati solo nel 1646 nell’Opera Matematica di Viète.
    5)Sempre verso il 1637 Fermat si occupò di equazioni Diofantee.
    Già nel 1621, però, Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1591-1639) aveva pubblicato, in edizione greco-latina, i 6/13 dei libri dell’Arithmetica di Diofanto d’Alessandria ( III sec. d.C.). Ricordiamo che nel bel libro di E. Scholz, Geschichte der Algebra, B.I. Wissenschafts Verlag Mannheim (1990), di circa 500 pagine, sono comparsi altri quattro libri, oltre i sei noti, dell’ Arithmetica di Diofanto, inizialmente composta dallo stesso numero dei libri degli Elementi di Euclide. Per cui oggi disponiamo dei 10/13 dei libri del trattato di Diofanto.
    Tali libri sono stati ritrovati nel 1990 dallo svizzero J. Sesiano.
    Diofanto, seguendo i logistici ( calcolatori professionisti), che avevano continuato la tradizionale applicazione delle regole egizie e babilonesi, ma svincolando le quantità numeriche da eventuali rappresentazioni geometriche, per primo sviluppò in modo astratto le precedenti regole del calcolo aritmetico-algebrico rivolto quasi sempre, se non esclusivamente, alla risoluzione di problemi concreti, per cui la sua Arithmetica è un trattato relativo ad una nuova scienza.
    La “nuova scienza”diofantea si sviluppò a partire dall’introduzione di un uso sistematico di segni e notazioni speciali ( abbreviate o sincopate) utili a rappresentare sia l’unica incognita consentita in tale ambito concettuale, sia le potenze (fino alla sesta) della stessa incognita, comprese le loro inverse (come x^ (-3)= 1/(x^3), inversa o reciproca di x^3).
    Fu proprio il carattere strettamente restrittivo delle notazioni e dei segni dell’ algebra diofantea a costringere Diofanto a “ridurre”, mediante il ricorso ad ingegnosi e sofisticati artifici di sostituzione, problemi a più incognite in problemi ad una sola incognita.
    Diofanto nella sua, rudimentale, ma innovativa “algebra” era di fatto costretto a d operare per sottrazioni essendo l’addizione rappresentata da “giustapposizioni o affinamento” delle quantità da sommare.
    Il che non gli impedì, però, di risolvere anche alcuni problemi di una certa difficoltà per lui, ma del tutto ostici, se non addirittura “impossibili”, per gli altri esperti del settore della sua epoca e, talvolta, anche di quelli delle epoche successive, compresi molti matematici odierni.
    Accadde dunque che da un lato i metodi di impostazione e di riduzione presenti nell’Arithmetica di Diofanto condussero allo sviluppo successivo del simbolismo algebrico prima della notazione posizionale ad opera degli Arabi, che la importarono dalla Cina e dall?India e la trasmisero a Fibonacci che nel suo Liber Abaci la diffuse in Italia e in Europa; dall'altro lato si verificò che l’Algebra si arricchì di un nuovo linguaggio segnico in seguito all’introduzione del “calcolo letterale” da parte di F. Viète (Logica speciosa) e R. Descartes, fino all’algebra di G. Boole (Logica binaria e Logica del pensiero, per giungere, dopo la fondamentale Algebra di Van der Werden, alla odierna algebra astratta, la cui cima forse è rappresentata dall' Algebra Universale ( il primo trattato è del 1930 ad opera di Paul Moritz Cohen (1981): Universal algebra, D. Reidel Publishing Company ), si tratta di una “kleinizzazione”dell’Algebra astratta a livello linguistico che “unifica” concetti che in tale ambito appaiono ”separati e relativi”; in altre parole si tratta di una generalizzazione dell’Algebra Astratta, iniziata da Cauchy e Galois e proseguita da Cayley ed altri: Notevole è stato sul ramo della mateamtica discreta lo sviluppo di nuovi capitoli dell’Algebra che hanno inglobato le impostazioni e le tecniche risolutive diofantee le quali hanno contribuito, a loro volta, da un alto ad “accendere la miccia” per trovare la via che doveva condurre alla risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado ( Scuola italiana di Scipione dal Ferro, Cardano, Tartaglia , Ferrari), e dall’altro doveva condurre alla Geometria Algebrica; ma che,soprattutto, con i suoi problemi indeterminati (Analisi diofantea o indeterminata) doveva contribuìre ad affascinare e ad irretire milioni di”pesci piccoli” o dilettanti in campo matematico, come Bachet de Méziriac ed altri, ma anche moltissimi “pesci grossi”. Il primo di essi, travestito da “dilettante”, nelle vesti del togato giudice tolosano Pierre de Fermat.
    Infatti il trattato di Diofanto racchiudeva notevoli difficoltà anche per matematici di valore, in quanto, se da un lato disattendeva coloro che erano portati a considerare la difficoltà delle “applicazioni” dei risultati diofantei, dall’altro lato scoraggiava perfino gli scienziati più dotati sul piano “teorico”.
    Ma forse proprio per questo (ingaggiando, come era solito fare, una vera e propria sfida tra sé e l’opera diofantea, ed in seguito anche tra sé e i matematici più in vista del suo tempo, a Fermat non sfuggì l’importanza dei risultati diofantei; anche perché più volte si era imbattuto egli stesso in questioni di Analisi diofantea, rappresentate da equazioni diofantee di vari gradi, probabilmente collegate alle sue ricerche in Geometria Analitica, ma soprattutto in Teoria dei Numeri.
    Anche se Diofanto non espose mai sistematicamente le “regole” alla base della sua opera ( e non poteva farlo in virtù del fatto che la sua opera è una collezione di centinaia di problemi che egli affronta di volta in volta con artifici originali i più impemsabili ed ingegnosi diversi l’uno dagli altri.
    Sintesi dal Codex Cervinarensis di Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina)
    A cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.

  24. NOTA a cura di U. Esposito
    Anche se la soluzione dell’equazione diofantea lineare o di primo grado (1) ax+by= c ( a,b, c interi non nulli è contenuta negli Elementi di Euclide (III sec. a.C.), la prima soluzione generale è dovuta al matematico indiano Brahmagupta (598- dopo il 665), il quale sapeva che, affinché l’equazione (1) ammetta soluzioni intere, è necessario che il MCD(a,b) divida c e che, se a e b sono primi tra loro, allora tutte le sue soluzioni sono date dalle formule di Brahmagupta:(628)
    x=p+mb
    y=q –ma
    essendo m un numero intero qualsiasi e (p,q) una soluzione intera a priori della (1).
    Ma quali sono le formule generali che consentono di calcolare tutte le soluzioni dell’equazione diofantea:
    (2) aX +bY =c con X=xn ed Y=ym ?
    Negli anni ’80 del XX sec. Onofrio Gallo ha trovato quattro tipi diversi di soluzioni generali della (2).
    Poiché a,b,c ( interi non nulli) sono i tre dati nella (1), risulta che vi sono 3!=6 permutazioni di a,b,c possibili.
    Se, però, si tiene conto delle associazioni operative consentite ( in senso additivo e sottrattivo) che intervengono nella formula generale di Gallo tra i valori a,b,c, si ottengono 14 formule generali possibili, esse, però, raggruppate rispetto ai parametri che vi figurano, sono riducibili a solo quattro classi di formule generali di Gallo della (1).

    Infatti le formule generali di Gallo sono le seguenti:
    (G.1) X=(c – b- bt)/d e Y=(a-c + at)/d
    (G.2) X=(b + c+ bt’)/D e Y=(c-a – at’)/D
    (G.3) X=(c – b + bt”)/D e Y=(a+ c- at”)/D
    (G.4) X=(b + c – bt”’)/d e Y=( – (a + c)+ at”’)/d
    Con d=a-b , ; D=a+b , t=X+Y-1 , t’=X-Y-1, t”= X-Y+1 e t”’=X+Y+1

    Per t = t’= t”= t”’= 0 si ottengono le corrispondenti soluzioni razionali di Gallo della (2).
    Dunque con le Formule di Gallo non è necessario calcolare delle soluzioni a priori e intere della (1) o della (2). E’ chiaro che, note X ed Y, per ottenere, in corrispondenza, i valori di x e di y cercati, occorre estrarre, rispettivamente, la radice n-ma e la radice m-ma di tali valori.
    News dal Codex Cervinarensis di Onofrio Gallo (n, 1946 a Cervinara, Valle Caudina) per gentile concessione dell’Autore. A cura di Umberto esposito

  25. PIERRE DE FERMAT
    (II/III)
    Da Fermat ai nostri giorni.
    In un certo senso si può dire che l’Arithmetica di Diofanto fu per Fermat ciò che le Disquisitiones Arithmeticae di Gauss sarebbero state per Dirichlet che le riponeva sotto il proprio cuscino prima di dormire.
    Fermat, che, per sua natura, aveva le caratteristiche del ricercatore-sperimentatore (alla maniera di Enrico Fermi, per intenderci, anche se in un campo del tutto diverso), dovette ad un certo punto escogitare egli stesso un metodo per la dimostrazione o risoluzione di molti dei problemi dell’Arithmetica diofantea. Un metodo che lo avrebbe reso celebre dopo la sua morte.
    Si tratta del “metodo della discesa infinita” che prende ancora oggi il suo nome e che si è soliti considerare come un metodo d’induzione matematica “alla rovescia”: si procede infatti per successivi passi “a ritroso”dal generale al particolare, fino a dedure , la verità o la falsità dell’assunto, ma a livello generale.
    Egli applicò tale metodo anche alla dimostrazione di una proposizione (Teorema Fondamenatle di Fermat (1640), enunciata, ma non dimostrata, da Albert Girard (1590-1633, secondo altri 1595-1632), secondo cui “esiste un solo modo per cui un numero primo p del tipo 4n+1 è esprimibile come somma di due quadrati di interi positivi,cioè p=4n+1= x^2 +y^ “.
    Il Teorema fondamentale di Fermat , nella Teoria dei Numeri Primi Armonici di Gallo ,permette di dimostrare che i cosiddetti numeri complessi armonici di Gallo devono avere parte reale uguale ad 1. La Teoria dei Numeri Primi Armonici di Gallo è l’unica teoria nella Storia della Matematica che consente di “spezzare” qualsiasi numero primo p nel prodotto di due fattori diversi da 1 e da p. Si tratta dell’unica “scomposizione moltiplicativa” conosciuta di tipo generale, in quanto applicabile a qaulsiasi numero primo p. In base alla Teoria dei Numeri Primi Armonici di Gallo si dimostra che è “impossibile” ottenere una “formula dei numeri primi” indipendente dai numeri primi, ossia tale che la formula in questione non sia funzione del numero primo primo p-1, precedente del numero primo p che si vuol determinare. Mediante il Teorema Mirabilis di Gallo le cosiddette scomposizioni additive di Fermat ( comprese quelle relative ai primi p=4n+1) vengono risolte facilmente senza tentativi, senza radicali e senza l’uso delle frazioni continue.
    Il Teorema Fondamentale di Fermat consente di “spezzare” additivamente solo i numeri primi p della forma 4n+1 nella somma di due quadrati in un solo modo.
    Si tratta perciò di una “scomposizione additiva” particolare, in quanto applicabile solo ai numeri primi p della forma 4n+1.
    Ma l’anno 1637 sarebbe passato alla Storia delle Matematiche per l’arcinota affermazione di Fermat relativa alla cosiddetta Congettura di Fermat, divenuta, nei primi anni ’90 del secolo XX ,finalmente Ultimo Teorema di Ferrmat, caso particolare del Teorema Mirabilis di Gallo creato dal matematico italiano Onofrio Gallo, che, oltre ad un paio di dimostrazioni “elementari”, di tale congettura ha fornito la prima dimostrazione generale diretta ed originale, a livello mondiale ad opera di un solo autore (27 .XII.1993, Roma; depositata in seguito in lingua francese anche a Gottingen il 27 X.1993), a circa 357 anni dall’enunciazione del matematico tolosano e circa dieci mesi prima della megadimostrazione (ancora oggi non del tuttto convincente) della stessa congettura per via indiretta, ottenuta -come conseguenza della parziale dimostrazione (curve ellittiche semi-stabili)della Congettura di Taniyama-Shimura –da parte dei matematici inglesi J.A. Wiles e R. Taylor il 19 ottobre 1994, ma completata il 25 ottobre 1994, pubblicata nel maggio 1995 ed, infine, accettata dall’Uniome Matematica Mondiale solo nel 1998.
    Le due dimostrazioni “elementari” di Gallo, al pari del Teorema di Gallo sulla Risolubilità per Radicali delle equazioni algebriche, appaiono nel “Complemento” finale.
    La Congettura di Fermat, da lui enunciata (secondo A. Weil) verso il 1630, ma, secondo i più, verso il 1637, nasce in modo alquanto originale e discutibile, ma che faceva parte del modo di procedere negli studi e negli approfondimenti da parte del giudice-matematico tolosano.
    Sulla sua copia personale dell’Aritmetica (mai più ritrovata), edita dal Bachet nel 1621 a Parigi, a lato del Problema 8 di Diofanto, “ Dividere un quadrato in due quadrati”, Fermat scrisse, in latino, l’immortale frase:
    “Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratorum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere
    Cuis rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet”
    ( “ Non è, invece, possibile dividere un cubo in due cubi, o un biquadrato in due biquadrati, né, in generale, dividere alcun altra potenza di grado superiore al secondo in due altre potenze dello stesso grado: della qual cosa ho scoperto una dimostrazione veramente mirabile, che non può essere contenuta nella ristrettezza del margine”)
    Si tratta della seconda delle Osservazioni su Diofanto, in latino, come le chiamò nel 1670 il figlio Clément-Samuel (1632-1690).
    Fermat è stato un acuto cultore della Teoria dei numeri nel cui ambito ha stabilito vari teoremi e svariate osservazioni e proposizioni.
    Sia i primi che le seconde sono stati tutti dimostrati o dallo stesso Fermat o dai posteri.
    Ma prima del 1993 nessuno era stato in grado di fornire una spiegazione del vero “perché” circa il fatto che l’equazione che rappresentava la Congettura di Fermat, cioè “ l’equazione diofantea (F) x^n +y^n= z^n non ammette soluzioni intere positive se n>2”.
    Come Onofrio Gallo ha dimostrato col suo Teorema Mirabilis, tale defaillance per n>2 è dovuta alla mancanza delle simmetrie necessarie, affinchè un’equazione diofantea come la (F) possa ammettere soluzioni intere (in particolare anche intere positive, come richiedeva Fermat).
    In questo caso l’indicatore di risolubilità per soluzioni intere di Gallo ( che figura nel suo Teorema Mirabilis), anziché essere un numero primo, è un multiplo di 4.
    La stessa cosa che si verifica in Algebra relativamente alla Teoria delle Equazioni Algebriche quando si ricercano formule risolutive per radicali per n>4.
    In questo caso sussiste il Teorema di Ruffini–Abel e il suo equivalente, il Teorema di Gallo sulla Risolubilità per Radicali delle equazioni algebriche di grado n.
    Com’ è noto per n>4 le equazioni algebriche non sono risolubili per radicali; anche qui per mancanza delle simmetrie necessarie, affinchè possano essere soddisfatte certe condizioni necessarie e sufficienti per la risoluzione per radicali di una data equazione algebrica di grado n>4.
    La Teoria dei Gruppi Risolubili di Galois, per n>4, evidenzia che gli indici delle serie di composizione che si possono formare a partire dal Gruppo di Galois della data equazione algebrica e dai relativi sottogruppi normali massimali, che danno luogo alle serie di composizione i cui “indici di Galois” dovrebbero essere espressi da numeri primi, non sono primi, ma (come nel caso del Teorema Mirabilis di Gallo applicato all’equazione (F) di Fermat per n>2) sono (incredibile, ma vero!) anch’ essi…multipli di 4.
    Ne segue che, per n>4, le equazioni algebriche non sono risolubili per radicli, né lo sono le equazioni diofantee del tipo (F) per n>2.
    Cosa evidenziata, d’altronde, anche dal Teorema di Gallo sulla Risolubuilità per Radicali delle equazioni algebriche (per n>4) in termini più semplici, in quanto tale teorema prescinde dalla preventiva costruzione del relativo Gruppo di Galois.
    Fermat era dunque convinto di aver trovato una “mirabile dimostrazione” della sua famosa congettura.
    Ma tale dimostrazione non si è mai trovata, anche se è noto che egli la dimostrò nel caso particolare n=4. Come del resto fecero altri grandi matematici dopo di lui, per altri valori di n.
    Né forse gli era sfuggita la dimostrazione nel caso n=3, che, come ha dimostrato Eulero, cadeva sicuramente sotto il dominio del “metodo della discesa infinita” di Fermat e quindi sicuramente alla sua portata.
    Si deve comunque notare che qualsiasi dimostrazione di un assunto ottenuta per discesa infinita non è “costruttiva”.
    Con tale modo di procedere non abbiamo alcuna indicazione, ad esempio, di come calcolare le terne intere positive della (F) quando n2 è primo, esso è rappresentabile in un solo modo come p=x^2-y^2 con x= (p+1)/2 ed y=(p-1)/2 ( Es. 5= (6/2)^2 – (4/2)^2= 9-4).
    Oltre ad enunciare, occupandosi di somme di quadrati e di terne pitagoriche, tra il 1630 e il 1637, il già citato UTF o Grande Teorema di Fermat, il matematico tolosano enunciò una nutrita serie di proposizioni ben esaminata da A. Weil nel ben noto libro Number Theory ( tr, it. Teoria dei Numeri , Ed. Einaudi, 1993).
    Fermat, oltre la fitta corrispondenza con i maggiori scienziati del suo tempo, non pubblicò mai nulla, tranne uno scritto di carattere geometrico (1660) sottoforma di appendice ad un volume sulla cicloide.
    Tale opera fu edita a Tolosa dal gesuita P. Antoine de Lalouvère (1600-1664).
    Vari scritti di Fermat furono inoltre inseriti da Mersenne nell’opera “ Cogitata physico-matematica” ( Considerazioni fisico-matematiche) del 1644.
    Altri suoi scritti circolarono tra i suoi amici di Parigi.
    Tramite lo stesso Mersenne entrò in contatto con B. Cavalieri.
    Vari lavori ed osservazioni di Fermat, interessanti e determinanti per lo sviluppo della Teoria dei Numeri, non furono scritti per essere pubblicati, ma per gratificare il suo ingegno acuto e desideroso di esplorare altri settori del sapete umano.
    Se le sue lettere e alcuni manoscritti riguardo ad argomenti di matematica vennero diffusi da Fermat in tutta Europa, lui vivente, solo in quattro occasioni alcuni suoi scritti furono pubblicati
    Ma solo per il De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica (sulla rettificazione delle curve) egli concesse la sua autorizzazione.
    Tale scritto apparve in appendice al volumeVetera geometria promota in septem de cicloyde libris di padre Antoine de La Loubère o Lalouvère, docente di matematica al collegio dei Gesuiti di Tolosa ed uno dei due matematici, l’altro era Wallis, finalisti ai premi offerti da B.Pascal (che però li ritirò) ai solutori di certi problemi associati alla curva cicloide ( in francese “roulette”)
    Solo nel 1943 J.E. Hofmann (1900-1973) scoprì un “addendum” di otto pagine di Fermat su particolari equazioni diofantee quadratiche, le cosiddette equazioni di Pell note anche come equazioni di Fermat-Pell e che sono del tipo
    (F-P) y^2 – a x^2 = 1 che ammettono un numero finito ( per a0) di soluzioni, con a intero non quadato perfetto.
    Per inciso fu Eulero che, erroneamente, invece di caratterizzarle col nome di Fermat, lo fece con quello del matematico inglese John Pell (1611-1685)che cominciò lo studio di quelle equazioni solo dopo la morte di Fermat, tre anni dopo, nel 1668.
    Si trattava di due lettere, una a Frénicle e l’altra a Digby, stampate per uso personale senza l’assenso di Fermat.
    Tale “addendum” comprende altri argomenti di Teoria dei numeri ed apparve in un opuscolo molto raro del 1657.

    NOTA a cura di U. Esposito
    Attualmente è possibile risolvere equazioni di Pell o di Fermat- Pell e le più generali equazioni dello stesso tipo per k >2 ( Equazioni k-diofantee di Gallo) mediante il fondamentale Teorema FPG di Gallo (1994), relativo alle equazioni diofantee del tipo Fermat-Pell Generalizzate o k- equazioni diofantee di Gallo , che sono espresse da equazioni diofantee del tipo (FPG/N) beta^k -N alfa^ k = c ( con c intero ed N intero positivo e non potenza k-ma di alcun intero positivo) di grado k >2, delle quali si cercano le soluzioni minime intere positive di Gallo (alfa , beta), tali che si abbia: beta/alfa = radice k-ma di N ; e, nel caso k=2, se (x,y) è una soluzione di (FP/N) y^2-Nx^2 =1 tale che y/x= √N, allora, per il Teorema FPG , risulta
    beta/alfa = y/x= √N, anche se, in generale, risulta (alfa , beta)≠ (x,y).
    In generale mediante il Teorema FPG di Gallo, applicato alla (FP/N), caso k=2,è possibile calcolare immediatamente le soluzioni minime intere positive, ignote non solo ai vari Fermat, Lagrange, Eulero ed altri, ma anche ai matematici odierni, come, ad esempio, le soluzioni minime intere positive delle due equazioni proposte da Fermat a Frénicle per corrispondenza nel 1657, come riportò il matematico francese A. Weil nel libro Number Theory ( tr, it. Teoria dei Numeri , Ed. Einaudi, 1993, pp. 89-90), il quale da parte sua, come Dickson, non aggiunse una virgola su tale argomento a quanto già noto.
    Pertanto, alla luce di quanto esposto, sembra che il mito creato intorno a matematici come Fermat, Lagrange, Eulero, e al metodo di Bhaskara II (114-1185), il Maestro,detto metodo Jaeyadeva-Bhaskara o metodo cavrakala o ciclico o metodo della ruota(cavra significa ruota) o metodo Kuttaka ( dal verbo kutt = schiacciare, tritare, macinare, polverizzare, che i Cinesi chiamavano “ Ta yen”), sia destinato ad essere riconsiderato.

    Le equazioni proposte da Fermat erano relative , prosegue Weil:
    “…ai casi N=61 e N=109, aggiungendo (in modo fuorviante, e forse con malizia) di avere scelto numeri abbastanza piccoli “ pour ne vous donner pas trop de peine” ( “per non darvi troppa pena”); egli doveva sapere, naturalmente, che le più piccole soluzioni di questi due casi sono rispettivamente:
    (1 766 319 049, 226 153 980) e (158 070 671 986 249, 15 140 424 455 100) e proprio per questa ragione scelse i valori 61 e 109”.
    La soluzione minima (intera positiva) di Gallo della (F-P/61) è
    ( alfa , beta) =(50 742 622 , 396 312 547 ) con un fattore di riduzione, rispetto alla soluzione (x,y)data dai matematici indiani e da Fermat, pari a 4,456 883 998, beta/alfa = y/x= 7,810249676 = √ 61 con nove cifre decimali esatte; mentre l’analoga soluzione minima (intera positiva ) di Gallo relativa alla (F-P/109) è
    ( alfa , beta) = (138 579 984, 1 446 817 509) con un fattore di riduzione rispetto alla soluzione (x,y) precedentemente fornita dai matematici indiani e da Fermat, pari a 109 254, 0496, con beta/ alfa = y/x=10,44030651 = √ 109 con otto cifre decimali esatte..
    Entrambe tali soluzioni intere positive minime di Gallo risultano dunque molto minori di quelle ritenute tali per vari secoli e calcolate dai matematici indiani e da Fermat.
    Ed ecco nei vari casi (tra parantesi) alcune soluzioni minime di Gallo calcolate col Teorema FPG di Gallo e i relativi valori delle radici k-me (approssimate) di N ottenute tramite le frazioni razionali di Gallo y/x:
    Per (k,N)=( 2,257) y^2 -257x^2 =1 ( y= 17 040 642 , x= 273 182 273; y/x= 16, 03121954)
    Per (k,N)=( 2,367) y^2 -367x^2 =1 ( y= 29 108 460 , x=557 637 681; y/x= 19, 15724406)
    Per (k,N)=( 3,61) y^3 -367x^3 =1 ( y= 490 278 960 , x=1 929 981 745; y/x=3, 936497183)
    Per (k,N)=( 4, 7) y^7 -4x^7 =1 ( y= 1 452 729 852 , x=4 200 846 805; y/x=1, 626576562 )
    Per (k,N)=( 4, 109) y^4 -109x^4 =1( y= 1.510521826exp10, x= 4.880717032exp10,y/x= 3.231146315)
    Per (k,N)=( 5, 61) y^5 -61x^5 =1 (y= 916 132 832 , x=20 844 608 069, y/x=2, 275443032)
    Per (k,N)=( 5, 83) y^5 -83x^5 =1 (y=3 471 159 122, x=8 400 209 959, y/x= 2, 420001407)
    Per (k,N)=( 6, 7) y^6 -7x^6 =1 (y=2 951 578 712, x= 3 764 363 347, y/x=1, 275373107) .
    Tali soluzioni originali trovate da Onofrio Gallo col suo teorema FPG, fino a qualche tempo, fa erano completamente sconosciute ai matematici. odierni.

    Sintesi dal Codex Cervinarensis di Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina)
    A cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore

  26. PIERRE DE FERMAT
    (III/III)
    Da Fermat ai nostri giorni.

    Nel 1644 apparve il metodo fermatiano per i massimi e per i minimi (già a suo tempo consegnato all’amico Ètienne d’Espagnet, figlio del più noto Jean) nel supplemento al Cursus mathematicus di P. Hérigone che costituì fino al 1684, anno dell’avvento del calcolo differenziale e integrale, il più importante contributo, ben 13 e 17 anni prima della nascita, rispettivamente, del fisico-matematico e alchimista Isaac Newton (1642-1727), e del tuttologo ante litteram Gottfried Wilhelm von Leibnitz (1646 – 1716) , anche filosofo e matematico.
    Infine alcune pagine di Fermat compaiono nel Commercium epistolicum del 1658 di J. Wallis (1616-1703), nelle Lettres de A.. Dettonville di Pascal nel 1662. Amos Dettonville è l’anagramma (con u=v) dello pseudonimo “Louis de Montalte” che Pascal usò nelle sue Lettres Provinciales, tra il 1656-57.
    Les Lettres de A. Dettonville di Pascal contengono le soluzioni pascaliane ai quesiti sulla cicloide assieme ad altri risultati, compresa una Histoire de la roulette (1658), dove si ridicolizza il Laluovère per il modo in cui aveva affrontato il calcolo differenziale.
    Altri scritti di Fermat apparvero nell’ultimo volume delle Lettres de Mr. Descartes di Clerselier del 1667.

    Ma furono in molti che, stimolati dalle lettere e dai manoscritti, di Fermat, cercarono con ogni mezzo di “sottrarre all’oscurità un’opera così eccellente”, come affermò Huyghens rivolgendosi nel 1665 a Carcavi, già dal 1631 collega di Fermat al Parlamento di Tolosa e divenuto, nel 1663, bibliotecario della Biblioteca reale di Parigi.
    Lo stesso Carcavi era in possesso di molti scritti di Fermat e fu lui che pose le fondamenta di quella che fu poi l’Académie Royale des Sciences. dove confluì in seguito il gruppo informale degli scienziati che ruotava intorno a Mersenne.
    Più tardi, ma non si sa fino a che punto potrebbe essere un aneddoto, lo stesso Leonhard Euler o Eulero ( 1707-1783), che venne a capo, tra molte difficoltà, della dimostrazione del caso n=3 dell’Ultimo Teorema di Fermat, sembra aver chiesto ad un amico di ricercare presso l’abitazione di Fermat qualche “carta” contenente indizi non solo sulle congetture, ma persino sulla “prova” della dimostrazione generale dell’Ultimo Teorema di Fermat..
    Cosa non impossibile, in quanto lo stesso Eulero, già nel 1742, aveva scritto a Alexis-Claude Clairaut (1713-1765) che “ sarebbe stato molto vantaggioso se queste dimostrazioni venissero pubblicate: può darsi che i manoscritti di questo grande personaggio si trovino da qualche parte”, riferendosi allora a varie dimostrazioni di Fermat relative ad argomenti di Teoria dei Numeri che lo stesso Fermat aveva disseminato come al solito ovunque senza tenere in molti casi gli originali.
    E’ degno di nota l’alta considerazione che Eulero aveva di Fermat come si evince dalle parole (“di questo grande personaggio”) di Eulero, le cui opere costituiscono ancora oggi una specie enciclopedia del sapere matematico del suo tempo e oltre. Parole dalle quali si evince altresì che lo stesso Eulero si sia interessato e abbia compiuto ricerche e approfondimenti su varie questioni matematiche poste direttamente e indirettamente dal giudice-matematico tolosano.
    Molte dimostrazioni dei teoremi e degli enunciati di Fermat erano fondate sul suo Metodo della discesa infinita, una “novità”per molti matematici della sua epoca. non perché il metodo fosse originale (in quanto il metodo era già noto), ma, soprattutto, per l’ingegnosità e la genialità con le quali il matematico tolosano riusciva a dirimere questioni delicate rimaste sospese da tempo e a dimostrare sistematicamente le sue tesi. Al punto che è possibile, ad un’attenta analisi dell’opera fermatiana, pervenire all’idea di un “unitarietà” nella molteplicità delle scoperte matematiche di Fermat, come ha notato anche qualche acuto studioso. Dunque un unico filo conduttore e un’unica metodologia dimostrativa si trovano alla base dell’opera fermatina rappresentati, l’uno e l’altra, dal suo metodo della discesa infinita per dimostrazioni di proposizioni e teoremi “negativi”( o limitativi) e da un analogo metodo “simmetrico” per le dimostrazioni dei loro contrari o “affermativi”).
    Né è certo se le “carte” di Fermat in possesso di Carcavi furono poi cedute al figlio Clément-Samuel de Fermat, che nel 1670 pubblicò una ristampa dell’Arithmetica ( col titolo Arthmeticorum libri sex).Si trattava dell’opera di Diofanto ( già edita dal Bachet nel 1621), alla quale aggiunse sia le inedite “Osservazioni su Diofanto” del padre sia il saggio Doctrinae analyticae Inventum Novum (1659), di 36 pagine del gesuita Jacques de Billy, ammiratore di Fermat e già amico dello stesso Bachet e docente di matematica a Digione .
    In quel saggio che de Billy aveva composto – sulla base di alcune “lettere” di Fermat a Frénicle del 1657 relative alle equazioni di Fermat-Pell – venivano illustrati dettagliatamente i metodi fermatiani per la risoluzione di tali equazioni diofantee che sono “ di genere 1”.
    Il concetto di “genere di un’equazione” è stato mutuato da quello di “genere di una curva piana”, che è il numero g= (n-1)(n-2)/2 , dove n è il grado dell’equazione che rappresenta la curva e g è il massimo numero di punti doppi ( la curva vi passa due volte) di una curva piana algebrica.
    Ad esempio l’equazione di Fermat (F) ha genere g (il massimo) ; mentre per n=3 il valore di g scende ad 1; per n=2, caso dell’equazione pitagorica (P), si ha g=0.
    Quindi il concetto di “ genere” di un’equazione è un indicatore della difficoltà della sua risoluzione.
    Al crescere del valore di g cresce anche la difficoltà di trovare le soluzioni razionali o intere di un’equazione polinomiale in due incognite.
    Lo stesso Clément-Samuel, nel 1679, diede alle stampe il volume Varia opera matematica che raccoglie scritti di Fermat su temi algebrici, geometrici e sul calcolo differenziale, comprese alcune lettere selezionate.
    Le Oeuvres de Fermat videro la luce nel periodo 1891-1902 e, con un paio di aggiunte di scritti originali di Fermat scoperti in seguito, anche nel 1922( il Supplément, a cura di C. De Waard, Gauthier-Villars, Paris) e nel 1943 qaundo apparvero due appendici di J. E. hofman, la più significativa delle quali è una edizione speciale della Solutio duorum problematum di F. de Besssy.
    Alla loro edizione concorsero studiosi e bibliofili come Charles Henry (sin dal 1879) e il principe romano Baldassarre Boncompagni (1821-1894), autore di un’edizione critica, dal 1868 al 1887, delle opere di Leonardo Bigollo detto Pisano o Fibonacci (circa 1170-1250 circa).
    Al Boncompagni probabilmente era pervenuta una parte, o “forse” gran parte, degli scritti di Fermat trafugati nel 1848 dalla Francia in Italia dal bibliofilo Guglielmo Icilio Timoleone Libri (1803-1869), matematico, già docente all’Università di Pisa.
    Tali scritti, contenuti con altre opere edite e inedite di altri autori, in ben 18 casse, contenenti anche la fondamentale memoria da Abel sulle funzioni trascendenti presentata all’Accademia delle Scienze parigina il 30 ottobre 1826 e inspiegabilmente smarrita da Cauchy.
    Si tratta dello stesso Libri che aveva concorso al Gran Prix del 1830, al quale concorse lo stesso Galois e che, nel settembre 1839, sul Journal de Sçavans o Journal des Savants aveva dato notizia del ritrovamento a Metz di altri inediti di Fermat in una collezione di manoscritti già in possesso di un certo Louis-Francois-Antoine Arbogast (1759-1805) .
    Lo stesso Libri, successivamente, nel 1843, spedì a Vienna il giovane matematico Despeyrous, alla ricerca di altri inediti di Fermat.
    Nel 1922, nel quinto Supplèment alle Oeuvres de Fermat, apparvero altri documenti scoperti da C. de Waard.
    Famose le sue “osservazioni” su Diofanto, annotate sulla copia del Bachet , poi (1670) raccolte nella ri-pubblicazione ad opera del figlio Clément-Samuel dell’Arithmetica di Diofanto ( già edita dal Bachet ) corredata dall’ Inventum novum di de Billy e dalle Osservazioni, comprese un certo numero di lettere, del padre.
    Anche se nel 1679 lo stesso Clément-Samuel pubblica i Varia opera matematica (unica raccolta, per quanto incompleta, delle ricerche di Fermat fino alla pubblicazione(1891-1902) delle Oevres de Fermat in quattro volumi, ad opera di Paul Tannery e Charles Henry al quale si aggiunse il Supplément.
    Ma il terzo volume sarà ampliato con la traduzione in francese delle Osservazioni, dell’Inventum novum e del Commercium epistolicum, ad opera di vari autori nel 1999.
    I cinque volumi delle Oevres sono così divisi:
    I. Oevres mathématiques diverses – observations sur Diophante (1894);
    II. Correspondance (1896)
    III. Traductons par P.Tannery des écrits et fragments latins de Fermat, ecc. (1896)
    IV. Complèmentes par M.C. Henry, ecc. (1902)
    V. Supplément aux tomes I-IV par M.C. de Waard(1922)
    In Italia le “Osservazioni su Diofanto” di P. de Fermat ( Observationes Domini Petri de Fermat) sono state pubblicate in un volumetto di circa 70 pagine per i tipi della Bollate Boringhieri ( 1959 e 2006); l’ultima edizione si presenta con prefazione di G. Colli, a cura di A. Conte..
    Fermat è considerato a buon diritto il “padre” della moderna Teoria dei Numeri, così come Diofanto lo era stato nell’antichità.
    La morte colse Pierre de Fermat a Castres il 12 gennaio 1665, ma già a partire dal 1662 egli aveva permesso alla “sua Geometria di cadere in un sonno profondo”.
    Fu forse un suo caro estimatore a stendere il necrologio del 9 febbraio 1665 sul Journal des Sçavans.
    In esso era scritto:
    “Con dolore abbiamo appreso della dipartita del signor de Fermat, Consigliere al Parlamento di Tolosa. Egli è stato una delle anime più nobili di questo secolo, e un genio così universale che se tutti i dotti non avessero testimoniato sui suoi meriti straordinari, sarebbe faticoso credere alle cose che di lui bisognerebbe dire per nulla togliere alle lodi che a lui sono dovute”
    Sintesi dal Codex Cervinarensis di Onofrio Gallo (n. 1946 a Cervinara, Valle Caudina)
    A cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore

  27. NOTA FINALE a cura di U. Esposito
    Di biografie, anche critiche su Fermat e sulla sua opera se ne trovano molte in giro. Così come molte sono ovviamente le caratteristiche ad esse comuni, come del resto accade anche per quella contenuta nel Codex Cervinarensis di Onofrio Gallo. Ma se date, episodi, personaggi, proposizioni e teoremi del matematico tolosano sono la parte che le accumna, occorre subito notare (ma credo che qualcuno l’abbia già notato di per sé) che la breve biografia di Fermat dovuta al matematico cervinarese, in vari punti diverge dalle precedenti. Accanto a quelli da noi segnalati nelle due note precedenti, se ne potrebbero aggiungere ancora altri. Qui vorremmo evidenziare come le ricerche matematiche originali di Onofrio Gallo siano andate, per così dire, per alcuni aspetti, oltre quelle di vari matematici, mi correggo di “grandi” matematici, come Archimede, Diofanto, Cardano, Ferrari, Ruffini, Abel, Galois, Eulero,Gauss, Cauchy, per citare alcuni tra i maggiori. Basta considerare i due originali “Addendum”di Gallo al Problema dei Buoi di Archimede ( la cui difficoltà risolutiva passa dal “secondo grado” di Archimede al “quarto grado” di Gallo, per non parlare del Metodo sui Teoremi Meccanici di Archimede che, come dimostrato da Onofrio Gallo, altro non è se non un’inconscia applicazione del suo Secondo Principio Generale della Conoscenza . Per quanto attiene alle formule “diofantee di Gallo” sia quelle relative alle equazioni diofantee (D2) lineari e non ( a due incognite e da noi riportate in precedenza), sia quelle relative alle equazioni diofantee (D3) lineari e non ( qui non riportate), possiamo affermare con certezza assoluta che esse hanno illuminato (se si tiene presente che ancora in pieno XXI secolo le equazioni diofantee (e solo quelle) lineari del tipo (D2) vengono risolte con l’ “algoritmo di Euclide” di circa due millenni addietro!) di nuova luce buona parte dell’”officina”, disastrata e buia, degli addetti ai lavori ( Eulero compreso)che si trovava e che, tuttora, si trova sotto la luce gaussiana della Teoria delle Congruenze, non sempre di facile applicazione per certe questioni di Teoria dei Numeri (in primis, come dimostrato altrove, per l’eventuale dimostrazione a livello generale dell’Ultimo Teorema di Fermat ). E’ da sottolineare inoltrre che le “formule di Gallo” consentono, non solo di determinare le soluzioni delle (D2) e delle (D3), quando esistono, ma anche di stabilirne appunto l’esistenza, la quantità e l’unicità.
    Che le formule risolutive delle equazioni algebriche di terzo grado (Cardano) e di quarto grado( Ferrari) si possano derivare più facilmente mediante il Principio di Disidentità di Gallo è ormai un fatto già (altrove) dimostrato; come pure (si veda il Complemento finale) è stato dimostrato che al Teorema di Ruffini-Abel si può pervenire per altra via, originalissima, anch’essa tracciata dal matematico cervinarese col suo Teorema di Gallo sulla risolubilità per radicali delle equazioni algebriche; ed ancora, che la Teoria dei Gruppi Risolubili di Galois equivalga al Teorema Mirabilis di Gallo è evidente. Come pure è evidente la facilità con la quale con il Teorema Mirabili di Gallo si può stabilire per via computazionale, per così dire, se una data equazione diofantea o algebrica è risolubile o meno. La convenienza di cui prima nasce, in particolare, dal fatto che le procedure relative alla determinazione per via “gruppale” delle simmetrie galoisiane (evidenziate solo tramite la non sempre facile “costruzione” dei relativi gruppi di Galois, associati ad una data equazione algebrica di grado n, mettiamo n>10) si possano sostituire con le più ”maneggevoli” funzioni generali di simmetria di Gallo di grado n. Merito del matematico cervinarese, ormai di dominio pubblico, è anche quello di aver sviluppato in un certo senso anche la stessa “Teoria dell’ambiguità”, intravista dal genio di Galois e attualmente rappresentata dalla TTIE di Gallo ( l’unica che riesce ad associare un’equazione ad un’identità!). La mancata dimostrazione dell’Ultimo Teorema di Fermat (UTF) da parte di Gauss, oltre che ai limiti dovuti alla sua Teoria delle congruenze, va attribuita, come dimostrato altrove dal matematico cervinarese, alla mancata creazione da parte dello stesso Gauss di una “logica non euclidea” in ambito aritmetico o algebrico che dir si voglia; mentre i limiti di Cauchy, sempre secondo quanto mostrato da Onofrio Gallo, sul cammino verso una dimostrazione generale dell’UTF, sono tutti da ricercare nella mancata elaborazione e nella conseguente mancata applicazione (peraltro appena intravista in modo nebuloso in altri ambiti) di un vero principio di disidentità relativo all’unità immaginaria Concludiamo questa nota evidenziando, alla luce di quanto esposto, quanto segue. E’ vero che i più grandi matematici (quelli rivoluzionari) potrebbero essere definiti tali unicamente per il fatto che essi cambiano un modo di pensare o un paradigma del pensiero, creano nuove teorie e nuovi algoritmi (che hanno il merito di illuminare di nuova luce teorie ed algoritmi calcificati dal tempo e dalla consuetudine e perciò “duri a morire”). Anche se il leit-motiv di fondo, la loro caratteristica principale, secondo quanto ha osservato altrove lo stesso Onofrio Gallo. è costituita dalla costante presenza nella loro opera o in parti rilevanti di un “quid” che li accomuna quasi tutti. Il fatto cioè che essi sono in grado di creare un “metodo”, espressione di almeno un’idea geniale, Il che è vero se si osservano le seguenti corrispondenze: Archimede (Metodo della leva, generalizzato nel suo Metodo dei Teoremi Meccanici); Diofanto ( metodo degli artifici “per sostituzione”); Cardano e Ferrari (metodo delle incognite ausiliarie); Ruffini ( metodo dei gruppi di permutazione), Abel (metodo delle funzioni; lo stesso concetto di “riducibilità”- ad esempio, di ciascuno dei radicali presenti nelle espressioni delle radici dell’equazione algebrica assegnata- ad una funzione razionale delle radici dell’equazione e di certe radici dell’unità (Teorema di Abel) o la teoria delle funzioni ellittiche (funzion trascendenti ) dovuta ad Abel e, indipendentemente, a Jacobi, adoperate per la ricerca nei campi più diversi (Teoria dei Numeri, Geometria Algebrica, ecc.).
    Non a caso tali funzioni sono alla base di una “formula” risolutiva, ovviamente non per radicali, dell’equazione di quinto grado, dovuta a Hermite, anche se fu poi J. H. Poincaré a risolvere, da un lato, in forma finita l’equazione algebrica generale (En), e, dall’altro le equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti algebrici, tramite le funzioni automorfe o fuchsiane, dal nome del matematico tedesco L. Fuchs (1833-1902). Proseguiamo. Galois (metodo fondato sulla sua Teoria dei Gruppi); il prolifico Eulero ( metodo di Eulero (relativo alla soluzione delle equazioni di quarto grado), ma come matematico, anche se il più prolifico o proprio per questo, adotta come metodo il ricorso ad una molteplicità di metodi; tra cui anche il metodo della discesa infinita di Fermat (caso n=3 dell’UTF); Gauss (metodo fondato sulla sua Teoria delle congruenze; ma Gauss, come ha dimostrato il matematico cervinarese, ha fatto egli stesso uso del Secondo Principio Generale della Conoscenza ( adottato inconsapevolmente per motivi di “simmetria logico-operativa”) a proposito della Legge di reciprocità quadratica ( o Teorema Fondamentale di Gauss) , enunciato da Legendre, ma dimostrato da Gauss a diciannove anni per la prima volta e in seguito per altre cinque volte, espresso come segue:
    “Dati p e q ( numeri primi dispari) non è in generale possibile sapere se è risolubile o meno la congruenza (1) x2≡ q (mod p), per cui Gauss, invertendo, associò alla (1) la congruenza (2) x2≡p ( mod q).”
    Di conseguenza, ai fini della risoluzione della (1), lo stesso Gauss dimostrò che:
    1) le (1) e (2) o sono entrambe risolubili o entrambi non risolubili, tranne il caso in cui p e q siano ambedue del tipo 4n+3 : in questo caso una delle due è risolubile e l’altra non lo è. ).
    Per quanto riguarda l’altro “prolifico”, il matematico francese Cauchy (padre dell’Analisi matematica, egli, come Eulero, adotta come metodo il ricorso ad una molteplicità di metodi. Significativa, in Teoria dei Numeri, è la dimostrazione, a livello generale, da parte di Cauchy (nel 1815) del Teorema generale di Fermat sui numeri poligonali, ottenuta basandosi su un famoso “Eureka!” di Gauss(che fornì la prima dimostrazione della proposizione di Fermat: “Ogni numero intero positivo è la somma di tre numeri triangolari”). Un teorema generale tenuto in grande considerazione da parte di Fermat, al punto che il matematico tolosano a tal proposito ebbe a scrivere:
    “Noi abbiamo scoperto per primi una proposizione bellissima e assolutamente generale: ogni numero infatti è o triangolo o composto di due o tre triangoli; quadrato o composto di due, tre, quattro quadrati; pentagono o composto di due, tre, quattro, cinque pentagoni, e così via all’infinito, per gli esagoni, gli eptagoni, e qualsiasi altro poligono potendosi tale meravigliosa proposizione enunciare in generale in funzione del numero degli angoli. Tuttavia non possiamo darne qui la dimostrazione che si basa su numerosi ed enigmatici misteri dei numeri: infatti a questo argomento abbiamo deciso di dedicare un’opera e un intero libro, e di sviluppare questa parte dell’aritmetica oltre i vecchi e noti confini in maniera mirabile”.
    Ma, come per la “demonstrationem mirabilem”, non vi è stato alcun riscontro della precedente asserzione di Fermat!
    Anche se il matematico “metodico” per eccellenza resta Cartesio , il quale, partendo dal metodo illustrato nel suo cedlebre ‘Discours de la méthode , detta, oltre alla massima fondamentale“Non ammettere come vero nulla che non si sia riconosciuto con evidenza per tale “, dètta anche tre régole, che devono essere seguìte in ogni processo per massimizzare il ragionmento della mente:
    – Analisi : divisione e semplificazione del problema( dividendolo nel maggior numero possibile di parti minori e più semplici);
    – Sìntesi: ricomposizione degli elementi sémplici (dopo aver individuato le connessioni logiche di per sé evidenti);
    – Enumeràzione: controllo di ogni fase del ragionamento e del calcolo (fino a stabilire la certezza dell’esattezza di ciascuna fase, senza òmbra di dubbio).
    Com’è noto ‘La Géométrie’di Cartesio appare nel suo Discours come l’appendìce di un’òpera filosofica
    Se i nomi di questi grandi matematici sono rimasti per sempre associati ai loro “metodi” che hanno sì caratterizzato la loro opera dotandola di una chiave di lettura unica e irripetibile, in quanto ciascuno di tali metodi è indipendente dagli altri, ma nessuno di tali metodi è riuscito ad inglobare gli altri o alcuni di essi.
    Insomma non esiste, ad un esame approfondito, la possibilità che uno di tali metodi possa “unificare” i restanti metodi.
    Da questo punto di vista fa eccezione il nome di Onofrio Gallo, la cui opera matematica, riteniamo, potrebbe essere caratterizzata, più che da un metodo particolare, da un “principio unificatore” di molteplici metodi e teorie matematiche. Ci riferiamo al suo Secondo Principio Generale della Conoscenza, alla cui base, occorre ricordarlo, si trova il suo originalissimo Principio di Disidentità. Del resto, il Secondo Principio Generale della Conoscenza di Gallo, fu adoperato (19.09.1994), come abbiamo dimostrato altrove, inconsapevolmente, dallo stesso Wiles per dimostrare la validità parziale della Congettura di Taniyama-Shimura e per ottenere, con R.L. Taylor, la sua megadimostrazione indiretta dell’UTF.
    E tale principio unificator non si trova forse anche alla base dei suoi Teoremi Mirabilis che recentemente hanno prodotto risultati a dir poco sorprendenti.?
    Ma anche al di là della matematica tradizionale, la stessa TMPECF o Mathemantics di Onofrio Gallo non annovera forse tra i suoi principi fondanti lo stessso “principio unificatore”?
    Se Carl Gustav Jacobi ebbe a domandare in una sua lettera a Legendre:
    “Ma com’è possibile che il lavoro di Abel, forse la più importante scoperta matematica del nostro secolo sia sfuggita alla vostra attenzione e a quella dei vostri colleghi?”,
    ci si potrebbe domandare quale altro grande matematico in futuro (non troppo lontano?) potrebbe rivolgere la stessa domanda a qualche suo illustre collega a proposito delle scoperte matematiche di Onofrio Gallo. La risposta di Legendre fu patetica: “Il lavoro di Abel era quasi illeggibile…”, con quel che segue. Di un fatto siamo certi: i principi, le teorie, i teoremi e le formule di Onofrio Gallo non sono affatto scritti “con un inchiostro troppo chiaro e con le lettere difficili da decifrare”.
    I Teoremi Mirabilis di Gallo parlano chiaro. Ma siamo del parere che tutti i più importanti contributi presenti nel Codex Cervinarensis, l’opera omnia matematica, ancora in fieri, del matematico cervinarese, cadono sotto il dominio del suddetto “principio unificatore”(unificazione del discreto col continuo, un’operazione mai riuscita a livello generale) e di “semplificazione”.
    Il che risulta evidente partendo dai nuovi metodi risolutivi relativi alla Teoria delle equazioni algebriche, ai metodi risolutivi di vari tipi di equazioni diofantee, fino alla risoluzione vari tipi di problemi di Teoria dei numeri :da quelli classici (numeri area- congruo, numeri quadrati congruenti), fino ai “nuovi” problemi dei quadrati quasi-congruenti di Gallo ed altri ancora.
    Inoltre, grazie al Principio di Disidentità di Gallo, al suo Secondo Principio Generale della Conoscenza e alla sua sorprendente e originale TTIE, il matematico cervinarese è pervenuto a varie applicazioni (fino a qualche anno fa del tutto impensabili) in campi numerici dove regnavano sovrane talune teorie che, col passr del tempo, hanno mostrato i loro limiti applicativi (si pensi alla Geometria Algebrica e alle mancate dimostrazioni dirette dello stesso UTF, della Congettura di Birch & Swinnerton-Dyer,e conseguente mancata risoluzione, a livello generale dei classici “Problemi dei numeri area.congruo”, o alla difficoltà di risolvere (senza le Formule di Gallo) una vasta classe di equazioni diofantte a due e a tre incognite o all’impossibilità di risolvere le cosiddette equazioni k-diofantee con un metodo sistematico per la determinazione e il calcolo delle minimesoluzioni intere positive, alla mancanza di un metodo per sapere se, ad esempio, una data equazione diofantea lineare a due incognite ammette soluzioni in numero finito, infinito o nessuna soluzione ; o se tale soluzione è unica , o ancora, quante soluzioni di un certo tipo ammette, senza risolvere alcuna equazione diofantea lineare assegnata, cosa resa possibile dai vari teoremi e dalle varie formule di Gallo ( ad esempio il Teorema Sigma di Gallo risolve, per le equazioni diofantee lineari a due incognite, il X Problema di Hilbert a livello “locale”). L’applicazione del Teorema Mirabilis di Gallo all’equazione pitagorica consennte altresì- dopo 31 secoli di regno incontrastato del Teorema di Pitagora- ai matematici del XXI secolo di andare oltre i limiti del Teorema di Pitagora (calcolo di un solo lato di un triangolo rettangolo, noti gli altri due), consentendo, invece, il calcolo di due lati di un triangolo rettangolo conoscendo solo il terzo (senza tentativi, senza radicali quadratici e senza l’uso delle frazioni continue e della trigonometria).
    Altre conseguenze dell’applicazione dei principi di Gallo sono, da un lato, la nascita della speciale Teoria dei numeri primi armonici di Gallo, che ha “spezzato” gli atomi della matematica ( i numeri primi p) in due fattori distinti da 1 e da p , proiettando i matematici, per la prima volta nella Storia delle Matematiche, oltre le Colonne d’Ercole della primalità di tipo euclideo e,dall’altro, la scoperta di metodi risolutivi generali per risolvere o dimostrare, una volta per tutte, problemi e congetture plurisecolari (come l’Ultimo Teorema di Fermat (1993), che è un caso particolare del Teorema Mirabilis di Gallo; l’Ipotesi di Riemann, ora Teorema RH-Mirabilis di Gallo (2005 e 2010), caso particolare del suo Teorema Z-Mirabilis); o “ quasi-secolari”, come la Congettura di Birch& Swinnerton-Dyer (la cui dimostrazione è una conseguenza del Teorema RH-Mirabilis di Gallo).
    In una parola il “terremoto” matematico causato dai contributi innovativi ed originali di Onofrio Gallo ha rivoluzionato diversi capitoli dell’Algebra e della Teoria dei Numeri, pur prescindendo completamente da varie ed importanti teorie classiche consolidate della Mateamtica, fino ad oggi ritenute “imprescindibili” e “insostituibili”; quali, ad esempio, la Teoria delle frazioni continue, la Teoria delle Congruenze di Gauss, la Teoria dei Gruppi Risolubili di Galois, la stessa Teoria delle Probabilità, (impotente per definizione circa la previsione del singolo evento casuale futuro).
    Le scoperte fatte dal matematico cervinarese hanno contribuito e contribuiranno anche in futuro, ne siamo certi, ad ampliare le conoscenze sia del sapere matematico che delle nuove logiche che potrebbero essere scoperte da altri studiosi in futuro partendo, ancora una volta, dai principi logico-operativi che sono alla base della “matematica di Gallo”.
    Senza i suddetti principi e senza il ricorso ad alcune semi-logiche particolari la “quarta rivoluzione scientifica di tutti i tempi”, la singolarissima ed originalissima TMPECF o Mathemantics di Gallo non sarebbe mai stata creata dal suo autore.
    E si tratta dell’unica teoria oggi esistente nella quale il Caso, non solo si manifesta in termini di causa-effetto, ma, sotto opportune condizioni, esso “parla attraverso i numeri”.
    Non per nulla Onofrio Gallo, da taluni definito “ mathematicus mirabilis”, è l’unico matematico che riesce a “dare del tu al Caso”!
    Dunque, alla luce di quanto esposto, si può dedurre che (piaccia o non piaccia) la “Matematica di Gallo” non si “pone” in termini ordinari, ma “s’impone” in termini rivoluzionari
    A questo punto se esistesse in giro qualche personaggio che “alla Legendre”che persistesse diabolicamente nel continuare ad ignorare gli effetti dei principi, delle teorie, dei teoremi e delle formule del matematico cervinarese, in tal caso potremmo senz’altro legittimamente ipotizzare un accerchiamento da parte di una casta di “finti ciechi” e di “finti sordomuti”, la cui vera identità però, la Storia, prima o poi, in nome del Progresso Umano , non tarderà molto a smascherare, specialmente se costoro dovessero celarsi dietro le ombre di teoremi altrui o dietro le mentite spoglie di “esperti” matematici.
    A cura di Umberto Esposito

  28. PIERRE DE FERMAT
    Da Fermat ai nostri giorni.

    COMPLEMENTO FINALE

    PREMESSA di U. Esposito
    L’Ultimo Teorema di Fermat è stato finalmente dimostrato, dopo oltre tre secoli e mezzo(357 oppure 363 anni, se supponiamo, rispettivamente, il 1637 oppure il 1630 come anni in cui Fermat enunciò la sua “Congettura”), da tre matematici,il primo nel 1993, gli altri due insieme (dopo circa dieci mesi) nel 1994, in due modi diversi. Il fatto è che per riuscire in tale impresa ci sono voluti ben due “tori” e un “ariete”! La prima dimostrazione dell’UTF in assoluto (27.XII,1993) è opera del matematico italiano Onofrio Gallo (n. 13 maggio 1946 a Cervinara, Valle Caudina, segno zodiacale Toro). Si tratta di una dimostrazione brevissima (solo sei pagine) “diretta “e “ non elementare” dell’UTF (Teorema Mirabilis di Gallo), una delle pochissime, se non l’unica oggi esistente di tale tipo, contenuta nella memoria di Onofrio Gallo: Sulla risolubilità delle equazioni diofantee del tipo (F) x^n +y^n =z^n, depositata a Roma (27 dicembre 1993, esiste al riguardo la relativa documentazione pubblica) e successivamente a Gottingen (27 ottobre 1994, riscontro tramite la lettera datata 4.XI.1994, indirizzata ad Onofrio Gallo dal prof. Frank Neumann, a capo del Dipartimento di matematica dell’Università di Gottingen) e che appare anche in una importante memoria di Onofrio Gallo di 64 pagine depositata ad Oslo (4 settembre 2004) presso la più prestigiosa accademica matematica degli ultimi cinquant’anni, l’Accademia Norvegese delle Scienze e della Lettere. La seconda dimostrazione dell’UTF fu ottenuta dai matematici inglesi A.J. Wiles (n, 11 aprile1953 a Cambridge, segno zodiacale Ariete) e da R. L.Taylor( n. 19 maggio 1962, segno zodiacale Toro). Si tratta di una lunghissima dimostrazione di tipo ”parzialmente originale”, “indiretta” e “non elementare”, che da circa 200 pagine fu ridotta, per la pubblicazione, a circa 130 pagine. Il cosiddetto Teorema di Fermat-Wiles, è rappresentato dalle due seguenti memorie pubblicate nel n. 141 (19959 degli Annals of Mathematics :
    Andrew Wiles: Modular elliptic curves and Fermat’s Last theorem (alle pp. 443-551) Andrew Wiles, Richard Taylor: Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras (alle pp. 553-572).
    Molti matematici dilettanti, specie dopo le dure obiezioni sollevate dalla ben nota Marilyn Vos Savant circa la validità della megadimostrazione del duo Wiles-Taylor, hanno proposto alcune loro “dimostrazioni”.
    Tali “dimostrazioni” (come il Dio di Abramo che disse “Io solo Colui che sono”),,, sono quello che sono. In merito al loro valore ognuno può giudicare da sé.
    Casualmente abbiamo notato tuttavia che talune di esse sono spesso precedute dall’ epigrafe ” Qui si trova la dimostrazione di…” , che suona simile all’epigrafe sepolcrale “ Qui giace la dimostrazione di…”
    Si tratta di un lapsus freudiano?
    Ma la domanda che fino a poco tempo fa ci si poneva è la seguente: “ E’ possibile ottenere una dimostrazione “elementare e diretta” dell’Ultimo Teorema di Fermat? .
    Vediamo quali sono le considerazioni in merito da parte di Onofrio Gallo che appaiono tra le righe di alcune pagine del Codex Cervinarensis (Sezione Congetture).
    “Il problema di trovare una dimostrazione elementare dell’UTF
    ( eventualmente proprio quella misteriosa “di Fermat”, perché no?).si collega al quesito plurisecolare che ha angustiato e che ha fatto perdere il sonno ad intere generazioni di matematici di ogni specie: “Fermat possedeva veramente una dimostrazione mirabile ( e corretta) dell’UTF? “ Non lo sapremo mai. Molti tuttavia sono inclini a pensare che la dimostrazione di Fermat ( o almeno quella che lui aveva in testa) fosse lacunosa e addirittura del tutto errata. E’ comunque indiscutibile la serietà e la capacità dimostrata da parte di Fermat nel formulare e nel dimostrare quasi tutte( sallvo in un paio di casi forse) le sue enunciazioni di proprietà e di teoremi sui numeri. E’ anche vero che egli dimostrò per certi versi il suo “grande teorema” almeno nel caso n=4. Ma non è strano il fatto che, per tutto il resto della sua vita, non abbia riconsiderata la sua “demonstrationem mirabilem”?”
    Il matematico cervinareese è convinto che Fermat non lasciasse nulla al caso e sapesse quello che voleva. Ed ecco come egli prosegue:
    “Ma il silenzio di Fermat sulla presunta dimostrazione della sua Congettura si protrasse (mettiamo, come minimo) dal 1637 al 1665, anno della sua morte; ossia per ben 29 anni circa! E’ mai possibile che Fermat in circa un trentennio non fosse mai più ritornato sul “luogo del delitto”? Vale a dire su quel margine della sua copia di Diofanto che non era stato così ampio da contenere la sua meravigliosa dimostrazion?. O, cosa, ancora più ingiustificabile, ci si potrebbe domandare come mai lo stesso Fermat non avesse più rivisitato quell’angolo del suo cervello dove gli erano sorte l’idea e la convinzione più cieca (fondata su un’intuizione folgorante, ma molto probabilmente errata) di essere in grado ( fidando troppo sulle sue abilità?), di ottenerla col suo infallibile metodo della discesa infinita”
    Al di là di tali interrogativi, il matematico cervinarese è in ogni caso del parere che una dimostrazione elementare (sia pure indiretta) poteva essere alla portata di Fermat e del suo metodo della discesa infinita.
    Almeno per i primi valori di n il metodo di Fermat avrebbe certamente funzionato.
    Ma, in generale, poteva Fermat ricorrere al suo metodo preferito per poter concludere sulla validità della sua congettura ( “L’equazione (F) x^n+y^n=z^n non ammette soluzioni intere positive se n>2”) ?
    A tal proposito così prosegue Onofrio Gallo:
    “In linea di principio la risposta potrebbe essere positiva. Ma di fatto, già nel caso n=3, Fermat o dovette incontrare enormi difficoltà nell’applicare direttamente il suo metodo della discesa infinita o, pur dimostrando la sua congettura per n=3, subito dopo, si rese immediatamente conto che tale modo di procedere, per ottenere la tanto agognata e sospirata dimostrazione generale, avrebbe richiesto una dimostrazione generale “per enumerazione” (caso per caso)!
    Il che ovviamente è un’impresa impossibile per ogni mortale. In quanto i casi sono infiniti.
    Dunque è probabile che Fermat fosse riuscito effettivamente a dimostrare la sua Congettura nei casi n=3,4, ma che, a quel punto, sperando di poter applicare a livello globale il suo metodo della discesa infinita sugli “infiniti casi” corrispondenti agli infiniti valori successivi del grado n della (F), preso dall’entusiasmo iniziale e convinto di poter ottenere successivamente (con opportuni accorgimenti)una dimostrazione a livello generale , avesse scritto di getto su quel margine la sua famosa congettura certo di essere in possesso di una “demonstrationem mirabilem” della stessa.
    Ma esiste una via, per così dire, di tipo “numerica” trovata dal matematico cervinarese, che esporremo più avanti, la quale avrebbe permesso a Fermat di dimostrare la sua Congettura. La domanda è:” Tale“via numerica” è mai stata presa in considerazione da Fermat?”. A tale quesito non possiamo rispondere che in modo negativo, anche per alcune deduzioni “ comportamentali” (dunque di tipo psicologiche) relative alla personalità di Fermat, evidenziate dallo stesso Onofrio Gallo:
    “Ma è certo che, se Fermat avesse intravisto tale “via numerica”, egli certamente l’avrebbe percorsa fino in fondo: In quanto siamo convinti che il calcolo dei limiti di Gallo che compaiono in tale percorso obbligato erano sicuramente alla portata di Fermat e del suo metodo della discesa infinita .
    A questo punto emergono alcuni “indicatori” importanti non sempre chiaramente intravisti dai tanti commentatori dell’opera e dello stile matematico di Fermat.
    Il primo è che Fermat, per tutto il resto della sua vita non sia mai ritornato sull’argomento, e, soprattutto ( è un dato “storico” e quindi dimostrato), che egli non ha mai “sfidato”, com’era solito fare,i matematici del suo tempo a trovare una dimostrazione della sua (non ancora famosa) Congettura.
    Fermat, com’è noto, lui vivente, si astenne dall’inviare ai matematici del suo tempo lettere di qualsiasi tipo riguardanti la sua Congettura. Ma, non disponendo egli di una dimostrare generale della sua Congettura, come avrebbe potuto sfidare gli altri matematici del suo tempo? Cosa che, al contrario, era solito fare ogni qualvolta disponeva di una “novità” in Teoria dei Numeri degna di nota e di cui disponeva di una dimostrazione-.
    Ecco il motivo fondamentale per cui qualcuno ha ipotizzato che Fermat con la sua Congettura (mai cancellata da quel margine, contraddetta o mai cancellata dalla sua mente per tuttto il resto della sua vita) avesse intenzione di burlarsi non tanto dei matematici del suo tempo(il che;per quanto prima detto, suonerebbe palesemente falso), ma, molto probabilmente, di quelli successivi; anche se non in modo diretto. Il che potrebbe essere suffragato dal fatto che, non essendo Fermat riuscito ad estendere al caso generale il suo metodo, alla fine, egli si era ridoyyo a vincere solo una scaramuccia contro il suo colossale nemico (la sua congettura). . Ma ,essendo Fermat un matematico di valor, serio e metodico, c’è da credere che, molto probabilmente, dopo una ricerca snervante e prolungata durata forse mesi, anni e probabilmente condotta con ostinazione per tutto il resto della sua vita, in extremis, quando sentì venir meno le forze, non solo dovette arrendersi all’evidenza, per l’incombente morte egli non ebbe né il tempo mè la possibilità di correggere o cancellare quella sua ”vecchia” nota scritta circa trent’anni prima nel famoso margine della sua copia dell’opera di Diofanto..

    La dimostrazione che Fermat abbia affrontato con il suo metodo della discesa infinita lo studio dei primi due casi (n=3,4) della sua congettura è indiscutibile; ma egli ottenne purtroppo solo una “vittoria di Pirro” contro la sua Congettura, nei casi n=3, 4( concedendo che abbia risolto positivamente il caso minimo, la cui eventuale dimostrazione ad opera di Fermat non è stata tuttavia mai trovata).
    .
    Nessuno saprà mai in quale profondo stato di costernazione e di delusione dovette sprofondare. allorchè, dopo una serie di continui, silenziosi ed ostinati attacchi frontali alla sua Congettura col suo metodo della discesa infinita, egli fu costretto, per forza di cose, a prendere coscienza della più crudele ed indubitabile tra le amare verità che possono ferire un matematico geniale: la “sua” guerra contro il “suo” ultimo teorema si era conclusa per sempre con una sconfitta catastrofica!”
    Quelle che seguono, dovute entrambe ad Onofrio Gallo. sono due dimostrazioni elementari dell’UTF. La prima di esse era sicuramente alla portata di Fermat.

  29. LA PRIMA DIMOSTRAZIONE ELEMENTARE E DIRETTA dI O. GALLO DELL’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT

    Nel secolo XVIII Eulero (1707-1783), e un suo collaboratore, il russo A.J. Lexell (1740-1784), tentarono invano di ricostruire per discesa infinita l’eventuale dimostrazione dell’UTF nel caso n=3.
    Con considerazioni elementari sulla scomposizione di a3+b3=c3, con a e b funzioni di x e di y, essi pervennero ad una prima soluzione della (F), per n=3; ma, nel tentativo di ottenere una seconda soluzione dalla precedente, ad un certo punto, dovettero arrendersi. Semplicemente si accorsero che la seconda soluzione coincideva con la prima soluzione!

    Onofrio Gallo suggerisce una seconda via, di tipo numerica, per così dire, che il matematico tolosano avrebbe potuto percorrere.
    Si tratta della seguente, come scrive il matematico cervinarese:
    “ L’equazione (F) x^n + y^n =z^n, per n=1, ammette una sola soluzione naturale positiva del tipo (x,y,z) =(x, x+1, x+2), come dimostrano le infinite uguaglianze numeriche, essendo le dk le differenze tra i secondi e i primi membri delle varie uguaglianze::
    1+2= 3 e d1= 3-3=0  (x, y, z)= (1, 2, 3;
    2 +3=4 e d2=4-5=-1;
    3+4= 5 e d3=5-7=-2;
    4+5= 6 e d4 =6-9=-3
    ……………………………
    Infatti la successione infinita decrescente d1=0, d2=-1, d3=-2, d4=-3,…,dr= -(r-1) converge a -∞ la successione infinita crescente dr,…,d4 = -3,d3= -2,d2= -1,d1=0 converge a zero.
    E quindi dr ≠. 0 per qualsiasi terna(x,y, z) di naturali consecutivi di posto r≠1: il che è sufficiente per affermare che la (F), ammette soluzione per n=1.
    Per n=2 si ha
    1^2 +2^2 ≠.3^2 e d1=9- 5 =4;
    2^2 +3^2 ≠.4^2 e d2 =16-13=3
    3^2 +4^2 ≠.5^2 e d3= 25 -25 =0 per cui (x, y, z)=( 3,4,5)
    4^2+ 5^2 ≠.6^2 e d4= 36 -41=-5
    5^2 +6^2 ≠.7^2 e d5= 49- 61=-12
    …………………………………….
    E si vede che la successione decrescente finita d1=4,d2=3,d3=0 converge a zero, come pure la successione crescente infinita …. dr= (r2+(r+1)2) – (r+2)2), ………, d5 =-12, d4= -5, d3=0 converge a zero, dove r2+(r+1)2) – (r+2)2 2 ) nel caso n=2 è l’unica soluzione , a parte le infinite terne da essa ottenibili mediante la formula (3k,4k,5k) con k naturale >1.
    Infatti,se (x, x+1, x+2) è una terna di interi positivi consecutivi accettabile come soluzione dell’equazione (F)di Fermat nel caso n=2, deve risultare:
    x2 +(x+1)2 =(x+2)2 da cui si perviene all’equazione x^2 -2x -3=0
    che ammette come soluzioni x=3 ed x=-1.
    Dovendo essere x positivo (>2, in quanto la “prima” terna pitagorica (o terna pitagorica fondamentale) è (3, 4, 5) è 3), dev’essere x=3. Ne segue che, per n=2, l’unica terna che risulta essere soluzione della (F) è (x, x+1, x+2)=(3, 4, 5) cvd..
    A questo punto Fermat avrebbe fatto vedere che al crescere del valore dell’esponente n>2 le relative successioni (di)1≤ i≤r sono tali che nessuna di esse converge a zero. Infatti:
    Per n=3
    1^3 + 2^3 ≠. 3^3 e d1=27 -9=18;
    2^3 +3^3 ≠.4^3 e d2 =64 -35=29;
    3^3 + 4^3 ≠.5^3 e d3=125- 91= 34;
    4^3 + 5^3 ≠.6^ e d4=216 -189=27:
    5^3 + 6^3 ≠.7^3 e d5=343 – 341= 2;
    6^3 + 7^3 ≠.8^3 e d6=512- 559=-47:;
    7^3 + 8^3 ≠.9^ e d7=729- 855= -126……………………………………..
    E quindi, tenuto conto che la successione finita positiva 18, 29, 34, 27 tende a 2 e che l’analoga successione infinita crescente “negativa” …., (n+2)2- (( n2+(n+1)2) ,…-126.,-47 tende anch’essa al valore 2, se ne deduce che, poichè dr ≠. 0 per qualsiasi terna (x, y, z) di naturali consecutivi di posto r con r variabile in N, la (F), per n=3 non ammette alcuna soluzione intera positiva (x,y,z) con x,y, z consecutivi;
    Per n=4
    1^4 +2^4 ≠.3^4 e d1= 81-17= 64;
    2^4 +3^4 ≠. 4^4 e d2= 256-97=159;
    3^4 + 4^5 ≠. 5^4 e d3=625 -337= 288;
    4^4 +5^4 ≠. 6 ^4 e d4= 1296 – 881=415;
    ……………………………………………..
    Per cui si vede che per n=4 la successione “positiva” delle infinite differenze (di)1≤ i≤r, al crescere di r, non assume mai il valore zero, ma tende a + ∞, per cui non esiste alcuna terna (x, y, z)= (x, x+1, x+2) di interi positivi consecutivi tale che la differenza tra z^4 e (x^4+y^4) sia uguale a zero, ossia l’equazione (F), nel caso n=4., non ammette soluzioni di tale tipo.
    Poiché, inoltre, al crescere dell’esponente n della (1) si verifica quanto visto nel caso n=4 ossia, al variare di n da 4 a +∞ , tutte le relative successioni (di)1≤ i≤ r convergono a +∞, ne segue che l’equazione (F), per n>2 ,non ammette alcuna terna del tipo (x, x+1, x+2) come soluzione intera positiva.
    A questo punto Fermat sarebbe riuscito a dimostrare l’UTF in generale se fosse riuscito a dimostrare la proposizione seguente:
    “ L’equazione (F) x^n + y^n =z^n per n>2 non ammette alcuna soluzione intera positiva (x, y, z) =(x, x+a, x+b), con le condizioni (1) seguenti: “ con gli interi a >1, b>2 con a2 avesse ammesso la soluzione intera positiva sk=(xk, yk=xk+ak , zk=xk+bk), con a<ak<b< 3, come si può dedurre attraverso l’esame della seguente tabella, in cui appaiono i risultati che si ottengono per n= 4, 5, 6.
    Con pi = fattori primi del termine noto T di Fn(x), T compreso.
    n Risolvente Fn(x)=0 Fn(pi) soluzioni
    4 x^4-4x^3 -30x^2-76x-65=0 1, 5, 13, 65 Nessuna
    F4(1)=-174 ≠0
    F4(5) -1070≠0
    F4(13)=+ 13 650 ≠0
    F4(65)= + 16 820 370 ≠0
    5 x^5-5x^4-50x^3-190x^2-325x-211=0 1, 211 Nessuna
    F5(1)= -780 ≠0
    F5(211)= + 4.078 383 805×1011 ≠0
    6 x^6 -5x^5 -75x^4-380x^3-975x^2-21266x-665=0 1, 5, 7, 19, 665 Nessuna
    F6(1) -3366 ≠0
    F6(5)= – 128 870 ≠0
    F6(7)= – 350 910 ≠0
    F6(19)= + 19 356 138 ≠0
    F6(665)= +8.568 775 026×10^16 ≠0
    …………………………………………………………………………………………………..
    D’altra parte, con a=2 e b=3, facendo variare x da 1 ad M, intero positivo molto grande , per ogni n>2 prefissato, è possibile verificare che la successione Gn dei minimi interi positivi delle “differenze di Gallo”, tra (x+b)^n (secondo membro della (F) e la somma dei termini del primo membro x^n +(x+a)^n, della(F) è la seguente:
    n (>2) 3 4 5 …..
    Gn 1 545 5480…..
    La circostanza che nel caso n=3 , con a=2 e b=3, la successione Gn di Gallo converge al valore 1(il cui valore assoluto è ancora1) è dimostrata dalla seguente disuguaglianza 64^3 +94^3 ≠103^3 , che fornisce la relativa differenza di Gallo 103^3 – (64^3 +94^3 ) = 1 092 727 – 1 092 728 = -1, che, in ogni caso, è un valore non nullo che, in valore assoluto, vale proprio 1.
    Fondamentale in questo ragionamento è l’attenzione che va posta alla costruzione dei termini della sucessione Gn dei minimi interi positivi ( eventualmente nulli) a cui convergono le singole successioni Gn al variare di n, una volta fissati a>1 e b>2.
    Il principio del minimo (buon ordinamento degli interi naturali) appare qui in veste diversa dunque dal metodo fermatiano della discsa infinita, in quanto per ciascuna successione Gn esiste un limite destro e un limite sinistro. Si può pertanto affermare che sussiste il seguente:
    Teorema empirico di Gallo sui limiti delle successione Gn :” L’equazione (F) ): x^n +(x+a)^n =(x+b)^n, per n>2, con le condizioni (1), ammette soluzioni intere positive, se, e solo se, i limiti delle successioni di Gallo sono uguali a zero”.
    Il teorema precedente risulta, in lnea di principio, compatibile col metodo della discesa infinita di Fermat.
    Il fatto che i valori minimi dei due limiti di Gallo per n>2 non si annullino mai qualunque sia la terna di valori (x, a, b) con x≥1 ed a,b soddisfacenti le condizioni (1). si evince da quanto segue.

    Di fatto, se si prendono in considerazione i valori delle successioni Gn al crescere di n delle distanze tra a e b, per ciascun valore prefissato di n a partire da n=3, si può facilmente osservare che le Gn ottenute in tal modo convergono ad 1 (minimo valore intero positivo) e nessuna di esse converge al valore zero come, invece, richiesto dal Teorema empirico di Gallo.
    Ne segue, pertanto, che comunque si scelgano i valori interi positivi x , a>1,b>2, per x che descrive l’insieme N dei naturali positivi e per n che descrive lo stesso N a partire da n=3, l’equazione (F): x^n +(x+a)^n =(x+b)^n non è mai verificata.
    A questo punto essendo la stessa equazione, quella che si ottiene dalla (F) per x=x, y=x+a; z=x+b, con x,y z interi positivi, possiamo scrivere la (F) nella ben nota forma x^n +y^n =z^n e la Congettura di Fermat, in virtù del Teorema empirico di Gallo, diventa, anche per questa via “numerica” o empirica, Ultimo Teorema di Fermat.. Tale via consente di dimostrare, dunque, in modo elementare e diretto, che, per n>2 , la (F) non ammette, né soluzioni intere positive formate da tre naturali non nulli distinti consecutivi (x, y, z) = (x, x+1, x+2), né soluzioni intere positive formate da tre naturali non nulli distinti non consecutivi (x, y, z)=(x, x+a, x+b), con a,b soddisfacenti le condizioni (1). I motivi per i quali Fermat non ha mai percorso per intero la “via numerica” da noi indicata dovrebbero ora apparire più chiari” News tratte dal Codex Cervinarensis di Onofrio gallo (n,. 15 maggio 1946 a Cervinara, Valle Caudina) A cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.

  30. LA SECONDA DIMOSTRAZIONE ELEMENTARE E DIRETTA DELL’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT di ONOFRIO GALLO
    Una seconda dimostrazione (10 marzo 1997) “elementare” e “diretta” dell’UTF appare anch’essa nel Codex Cervinarensis (Sezione Congetture)di Onofrio Gallo.
    Tale dimostrazione si fonda sul seguente:
    LEMMA DI GALLO “ Sia (k,r,n) una terna di interi positivi. Se (EDG) (1^r +k^r)^n + (2^r +k^r)^n = (3^r +k^r)^n è l’equazione diofantea di Gallo e se c=a/b, con a e b, rispettivamente, elementi della diagonale principale e della diagonale secondaria della matrice quadrata simmetrica A di Gallo di ordine 2, di prima riga a11=a=r1 , a12=b=n1 e di seconda riga a21=b=r2 , a22=a=n2, allora, condizione necessaria e sufficiente, affinchè la (EDG) ammetta almeno una soluzione intera positiva, è che sia c=2”
    (DIM.: Risultando, per k=2 e per a11=a=r1=2, a12=b=n1=1, a21=b=r2=1, a22=a=n2=2 , c=a/b= 2/1 =2 (intero positivo), la (EDG) ammette, per n=n1=1, la soluzione intera positiva (k, r1, n1)=(2, 2, 1); mentre per n=n2=2 ammette la soluzione intera positiva (k, r2, n2)=(2, 1, 2)).
    Riportiamo ora la seconda dimostrazione “elementare” e “diretta” dell’
    ULTIMO TEOREMA DI FERMAT (UTF)
    “L’equazione diofantea (F) x^n+y^n= z^n , con x, y, z, n interi positivi, non ammette soluzioni intere positive se n >2”
    (DIM. Se si prendono x=(1^r +k^r)^n ; y=(2^r +k^r)^n ; z= (3^r +k^r)^n con k,r, n interi positivi, allora l’equazione di Fermat (F) e l’equazione di Gallo (EDG) risultano equivalenti.
    Ne segue, per il LEMMA DI GALLO, che la (F) ,per n=1, ammette, per (k, r1, n1)=( 2, 2, 1) come soluzione intera positiva la terna pitagorica primitiva (5, 8, 13), mentre per n=2 la (F) ammette , per (k, r2, n2)=( 2, 1, 2), la (F) ammette come soluzione intera positiva la terna pitagorica primitiva fondamentale (3, 4, 5). Poiché per k=2, per a11=a=r1=2, a12=b=n1=3, a21=b=r2=3, a22=b=n2=2, e per a11=a=r1=2, a12=b=n1=4, a21=b=r2=4, a22=b=n2=2, risultando, rispettivamente, c= 2/3 (non intero) e c=2/4 (non intero), se ne deduce, in generale ( risultando c=2/ s non intero, per ogni intero positivo s maggiore di 4) che la (EDG), e , per equivalenza, che l’equazione di Fermat, per valori di n maggiori di 2, non ammette soluzioni intere positive. Il che prova la validità dell’UTF.
    COMMENTO: Come già dimostrato mediante il nostro Teorema Mirabilis (1993) il fatto che la (F) non ammette soluzioni intere positive ( e più in generale “intere”) deriva dalla mancanza di “simmetria” nella (F) non appena n risulta maggiore di 2.
    Mediante il nostro Lemma, il fatto che dev’essere c=2 deriva da una proprietà strutturale della matrice simmetrica A, le cui diagonali sono formate da elementi fissi a11=a22=2 e a12=a21=1. Mentre la (F) non è risolubile “per soluzioni intere” (positive) non appena n è maggiore di 2, segnalando la scomparsa della “simmetria” presente , invece, nella (F) per n=1 ed n=2. La dimostrazione fornita per quest’altra via della validità dell’UTF, si fonda sul fatto che non appena gli elementi a12=a21 della diagonale secondaria della matrice simmetrica A assumono valori positivi maggiori di 1, il valore di c non è intero positivo, per cui la (EDG), e quindi anche la (F), non risultano mai soddisfatte.”
    News tratte dal Codex Cervinarensis di Onofrio gallo (n,. 15 maggio 1946 a Cervinara, Valle Caudina) A cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.

  31. TEOREMA I GALLO SULLA RISOLUBILTA’ PER RADICALI DELLE EQUAZIONI ALGEBRICHE
    Sia (En) anx^n+ an-1 x^(n-1)+……+a1x+a0 =0 l’equazione algebrica generale di grado n con aj reali non nulli (j=0,1,…,n) con n intero>0. Se xG = (-a0/an )^(1/n) è la “pseudosoluzione di Gallo” della (En), allora,definiamo residuo nullo di Gallo la relazione nulla tra i coefficienti della (En) che si ottiene da F(xG)=0 . Ciò posto, sussiste l’ equivalente del Teorema di Ruffini-Abel, ossia il seguente: TEOREMA GENERALE DI GALLO SULLA RISOLUBILTA’ PER RADICALI(1996) “L’equazione algebrica generale (En) anx^n+ an-1 x^(n-1) +……+a1x+a0 =0, di grado n con ai reali non nulli (i=0,1,…,n) e con n intero (finito)>0, è “risolubile per radicali”, se, e solo se, la serie composta dalle n-1 equazioni algebriche che da essa si ottengono, di gradi k=1,2,…,n-1, sono tali che: a) per k dispari >1, il residuo di Gallo F(xG)=0 non contiene radicali di indici k ; b) per k pari il residuo di Gallo F(xG)=0 contiene radicali di indici k.”
    Per n=1 è sufficiente che la (E1) a1x+a0=0 non contenga radicali di indici k>1. Il che è ovvio, in quanto k =n-1 1. La formula risolutiva della (E1) ax+b=0 (forma senza indici della (E1)) è (FA/1) x1= -b/a .
    Per n=2 la (E2) a2x^2+ a1 x1+a0 =0 è tale che, essendo xG= xG= -a0/a2, risulta F(xG)=0, equivalente alla a2 (-a0/a2)+ a1 (-a0/a2)^1/2+a0 =0 , da cui a1 (-a0/a2)^1/2 =0 che contiene un radicale di indice k=2=n, mentre la sua ridotta di grado k=1 ovviamente contiene un radicale di indice k=1; per cui essendo k=1, la condizione a) è soddisfatta. Essendo soddisfatta anche la condizione b), se ne deduce che la (E2) è risolubile per radicali. Infatti la formula risolutiva della (E2) ax^2+ b x^1+c =0 (forma senza indici della (E2)) è la (FA2) x1.2= (-b/2a)± ( (a^2 –4 bc)/4a)^1/2 ( forma semplice o senza indici ) Per n=3 la (E3) a3x^3 +a2x^2+ a1 x^1+a0 =0 ammette la pseudosoluzione di Gallo xG = (-a0/3a3)^1/3 per cui il residuo nullo di Gallo è F(xG)=0, cioè a3(-a0/a3)+ a2 (-a0/a3)^2/3+ a1 (-a0/a3)^1/3+a0 =0 da cui a2 (-a0/a3)^2/3+ a1 (-a0/a3)^1/3=0 che risulta equivalente alla a0a2 ^3 –a3a1^3=0 che non contiene radicali di indice n=3. E quindi, poiché la serie di equazioni algebriche (E2) , (E1) , di gradi k<3, verifica le a) e b) del Teorema Generale di Gallo sui residui nulli, si ha che la (E3) è “risolubile per radicali”. La radice reale x1 della (E3) si ottiene con la classica formula di Cardano che qui riportiamo riferita alla equazione completa di terzo grado (E3) ax^3 +bx^2+ c x^1+d=0 (forma senza indici della (E3)) nella forma x1= – b/3a +H^1/3 +K^1/3, con H=A+ (A +B)1^2 e con K = A- (A+B)^1/2; con A =((-b^3)/27a^3) + (bc/6a^2) – (d/2a); con B=(c/3a)-(b^2/9a^2). Le altre due soluzioni x2,3 si ottengono medainte la risolvente di secondo grado che si ottiene a partire dala (E3), ricorrendo, ad esempio, alla Regola di Ruffini. Per n=4 la (E4) a4x^4 + a3x^3 +a2x^2+ a1 x^1+a0 =0 ammette la pseudosoluzione di Gallo xG = (-a0/a4)^1/4 per cui il residuo nullo di Gallo è F(xG)=0, cioè a3(-a0/a4)^2/4 + a2 (-a0/a4)^1/4+ a1 =0 contiene due radicali di indice n=4. E quindi, poiché la serie di equazioni (E3), (E2) , (E1) , di gradi k<4, verifica le a) e b) del Teorema Generale di Gallo sui residui nulli, si ha che la (E4) è “risolubile per radicali”. Le radici della (E4) si ottengono con la classiica formula di Ferrari che qui riportiamo riferita alla equazione completa di quarto grado (E4) ax^4 +bx^3+ c x^2+dx^1 +e=0 (forma senza indici della (E4)) data da xi= (- b/4a ) +yi ( i=1,2,3,4), con y1,2 soluzioni di y^2+Ey +(A+D-EB)4D=0 e con y3,4 soluzioni di y^2-Ey +(A+D+EB)4D =0; con A=(c/2a)- 3b^2/16a^2; B= (bc/2a^2)-(d/a)- b^3/8a^3; C= /3b^4/256a^4)-(b2c/16a^3)+(db/4a^2) –c/a ; con D soluzione reale dell’equazione 8f^3 +16 Af^2 +8(^2 +C)f –B^2=0 e con E= (2D)^1/2, essendo f tale che (y^2 +A+f)^2 =2fy^2 +By +(f^2 +2Af +A^2 +C) , per il che è sufficiente che sia B^2 -8f(f^2 +2Af +A^2 +C)=0.
    Per n=5 la (E5) a5x^5+a4x^4 + a3x^3 +a2x^2+ a1 x^1+a0 =0 ammette la pseudosoluzione di Gallo xG = (-a0/a5)^1/5 per cui il residuo nullo di Gallo è F(xG)=0, cioè a4(-a0/a5)^3/5 + a3 (-a0/a5)^2/5+ a2(-a0/a5)^1/5 +a1=0, che contiene TRE radicali di indice n=5. E quindi, nonostante la serie di sottoequazioni algebriche (E4), (E3), (E2) , (E1) , di gradi k5 le equazioni algebriche di grado n , a loro volta, NON sono risolubili per radicali, in quanto per ogni k>5 nella serie di sottoequazioni algebriche (E1),(E2),(E3),(E4),(E5)….,(Ek-1), associata alla generica equazione algebrica generale di grado k minore o uguale ad n (>4) è sempre presente la (E5) che, non essendo risolubile per radicali, implica che la generica (En) per n>4 non è risolubile per radicali. Si tratta dello stesso risultato espresso mediante il classico TEOREMA DI RUFFINI-ABEL (Per n>4 le equazioni algebriche generali di grado n non sono risolubili per radicali), ma ottenuto in modo, oltre che più chiaro e più semplice, soprattutto più immediato sulla base del concetto di “residuo di Gallo”.
    News tratte dal Codex Cervinarensis di Onofrio gallo (n,. 15 maggio 1946 a Cervinara, Valle Caudina) A cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.

  32. TEOREMA CARATTERISTICO DI GALLO E ZERI DI RIEMANN NON BANALI Tale teorema risolve in modo semplice ed elegante il seguente problema originale (Problema di Gallo) : “ E’ possibile rappresentare gli zeri complessi non banali della funzione zeta di Riemann sull’asse reale in termini di simmetria e in che modo?”. Tale problema è stato risolto dal matematico italiano Onofrio Gallo (nato il 13 maggio 1946 a Cervinara, Valle Caudina) subito dopo la dimostrazione dell’Ipotesi di Riemann (Teorema RH-Mirabilis di Gallo, diffuso sul WEB il 14 aprile 2010). Riportiamo tale risoluzione qui di seguito. In virtù del Teorema RH-Mirabilis di Gallo ogni zero non banale s=x+yi della funzione zeta di Riemann è tale che Re(z)=x=1/2=0.5; per cui sia s=0.5 + yi sia il suo coniugato 1-s=0.5-yi sono soluzioni non banali della funzione zeta di Riemann. Tali zeri s ed 1-s sono infiniti e sono disposti simmetricamente rispetto al “centro di simmetria di Riemann” R0 =(1/2 , 0) sulla cosiddetta retta critica di Riemann x=1/2. Il problema proposto sarà risolto non appena saranno stati individuati. a) un centro G0 =(xG, 0) sull’asse reale delle ascisse (y=0) , con xG opportuno; b) una funzione di simmetria g di Gallo tale che associ biunivocamente ad ogni coppia (s, (1-s)) di zeri non banali della funzione zeta di Riemann la coppia di valori reali di Gallo (g1,g2) con g1=g(s) e g2=g(1-s) simmetrici rispetto al centro di simmetria reale G0 di Gallo. Tale problema è risolubile se, e solo se, s’introduce la matrice G hermitiana di Gallo (si tratta di un elemento del gruppo generale di grado 2 o GL2) composta dagli elementi a11=a22= 1 , a12=s= 0.5+yi , a22= 1-s=0.5-yi. Pertanto il polinomio caratteristico di Gallo associato alla G è dato dal polinomio algebrico di secondo grado G(x,s)= x^2-2x +(s^2 –s +1), essendo 2 il valore della traccia di G. Le soluzioni del polinomio caratteristico di Gallo sono gli zeri reali di Gallo g1= 1+ H e g2=1- H con H= (√(1+4yì2) )/2. Ne segue che, se stabiliamo le due corrispondenze biunivoche: c1 : s in ¢ —g1 in R e c2 : (1-s) in ¢ —- g2 in R, il problema è risolto completamente. In tal modo infatti l’operatore hermitiano G di Gallo, mediante la roto-traslazione (π/2 ,+1/2), fa si che la retta critica di Riemann x=1/2 e l’origine R0 =(1/2, 0) della simmetria degli zeri s ed 1-s non banali di Riemann si trasformino, rispettivamente, nell’asse reale delle ascisse y=0 (o retta reale di Gallo) e nell’origine G0 =( 1, 0) della simmetria degli zeri reali di Gallo g1 e g2, situati, rispettivamente, a destra ed a sinistra di G0. Ed infatti la c1 è tale che agli zeri di Riemann non banali s=0.5 +yi associa gli zeri reali di Gallo g1= 1+H posti a destra di G0; mentre la c2 agli zeri non banali di Riemann 1-s associa gli zeri reali g2= 1-H posti a sinistra di G0. Ad esempio ad s1= 0.5 +i 14.134725….(primo zero non banale di Riemann) la c1 fa corrispondere biunivocamente il primo zero reale di Gallo G1= 15.143 565 7…; mentre la c2 al simmetrico di s , cioè ad 1-s =0.5- i14.134725… fa corrispondere biunivocamente il simmetrico (rispetto a G0) del primo zero reale di Gallo, cioè G’1= -13. 143 565 7… e, dunque, in generale risulta che le parti intere di g1 e g2 sono date, rispettivamente, dai massimi interi contenuti in Im(s)+1 e in Im(s-1)+1. Alla luce di quanto sopra, sussiste pertanto il seguente: TEOREMA CARATTERISTICO DI GALLO (sugli zeri non banali di Riemann)
    “ I numeri complessi non banali s=x+yi ed 1-s= x-yi sono zeri non banali della funzione zeta di Riemann e, e solo se, i loro corrispondenti sulla retta reale di Gallo sono, rispettivamente, g1= 1+H e g2=1-H con H=(√(1+4y^2) )/2 , zeri di Gallo del polinomio caratteristico di Gallo G(x,s)= x^2-2x +(s^2 –s +1), associato alla matrice hermitiana di Gallo G.” ( La dimostrazione di tale teorema, come abbiamo mostrato, è immediata a partire da Re(s)=Re(1-s)=1/2, il che è vero a partire dal Teorema RH-Mirabilis di Gallo (o ex-Ipotesi di Riemann). News a cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.

  33. THE GALLO’s CHARACTERISTIC THEOREM ON THE RIEMANN’S NON TRIVIAL ZEROS
    This theorem solves in a way simple and elegant the following original problem of Gallo: “It ‘s possible to represent complex non-trivial zeros of the Riemann zeta function on the real axis in terms of symmetry and how?” This problem was solved by the Italian mathematician Onofrio Gallo (born May 13, 1946 at Cervinara, Valle Caudina) immediately after the proof of the Riemann Hypothesis (Gallo’s RH-Mirabilis Theorem , released on the Web April 14, 2010.
    By virtue of the Gallo’s RH-Mirabilis Theorem every non-trivial zero s = x + yi of the Riemann‘s zeta function is such that Re (z) = x = 1 / 2 = 0.5, for which both s = 0.5 + yi and its conjugated 1-s = 0.5-yi are nontrivial solutions of the Riemann’s zeta function. These zeros s and s 1-s are infinite and are located symmetrically in relation to the “center of symmetry of Riemann” R0 = (1 / 2, 0) on the so-called critical line of the Riemann x = 1 / 2. The proposed problem will be solved as soon as they were identified: a) a center of symmetry G0 = (xG, 0) on the real axis of the abscissa (y = 0), with appropriate xG ; b) a function g of symmetry of Gallo which involving biunivocally to any pair (s, (1 – s)) of non-trivial zeros of the Riemann’s zeta function the pair of real values of Gallo (g1, g2) , with g1 = g (s) and g2 = g (1-s) symmetrical to the real center of symmetry G0 of Gallo. This problem is solvable if and only if, the Hermitian matrix G of Gallo (which is an element of the overall group of grade 2 or GL2) is introduced consisting of the elements a11 = a22 = 1, a12 = 0.5 + s = yi , a22 = 1-s = 0.5-yi. Therefore, the Gallo characteristic polynomial associated with the G is given by the complex algebraic second-degree polynomial G (x, s) = x ^ 2-2x + (s ^ 2-s +1), 2 being the value of the trace of G. The solutions of the Gallo characteristic polynomial are the real zeros of Gallo g1= 1+ H and g2 = 1 – H with H = (√ (1 +4 yì2)) / 2 . It follows that, if we establish the two biunivocal correspondences: c1 : s complex in ¢ —g1 real in R; c2 :(1-s) complex in ¢ —g2 real in R, the problem is completely solved. In this way, in fact, the Gallo’s Hermitian operator G , by the roto-translation (π / 2, +1 / 2), means that the critical line of the Riemann x = 1 / 2 and the origin R0 =(1 / 2,0) of the symmetry of the Riemann’s non-trivial zeros and s 1-s they turn into, respectively, the real axis of the abscissa y = 0 (or the real line of Gallo) and the origin G0 = (1, 0) of the symmetry of Gallo real zeros g1 and g2. And in fact c1 is such that to the nontrivial zeros of Riemann s = 0.5 + yi associates the Gallo’s real zeros g1 = 1 + H which are to the right of G0, while to non-trivial zeros of Riemann’s 1-s= 0.5 – yi the c2 associates the Gallo’s real zeros g2 = 1-H which are at the left of G0. For example to value s1=0.5 +i 14.134725… (first nontrivial zero of Riemann) the c1 associates biunivocally the first Gallo’s real zero G1 = 15. 143 565 7 …, while the to symmetric of s, i.e. 1-s = 0.5- i 14.134725 …, the c2 associates biunivocally the symmetric to G0 of the first Gallo’s real zero, ie G’1 = -13.143 565 7 … and, therefore, in general it appears that the integer part of g1 and g2 are given, respectively, from the greatest integer contained in Im (s) +1 and Im (s-1) +1. In light of the above, there is thus the following: THE CHARACTERISTIC THEOREM OF GALLO (on non-trivial zeros of Riemann) “The non-trivial complex numbers s = x + yi and 1-s = x-yi are non-trivial zeros of the Riemann zeta function if, and only if, their corresponding on the Gallo real line are, respectively, g1 = 1+H and g2 = 1-H with H = (√ (1 +4 y^2)) / 2, i.e. the zeros of the Gallo characteristic polynomial G (x, s) = x ^ 2-2x + (s ^ 2-s +1), associated with the Gallo Hermitian matrix G.”
    (The proof of this theorem, as we have shown, it is immediate from Re (s) = Re (1-s) = 1 / 2, which is true from the Gallo RH-Mirabilis Theorem ). Umberto Esposito courtesy of the author.

    • Gentilissimo Umberto,
      dovrei veramente lasciarle uno spazio maggiore su questo blog nella sezione matematica. E’ possibile che nei prossimi giorni, quando avrò più tempo da dedicare a questo blog (avrà notato che pubblico poco in questi ultimi due mesi), recupererò i suoi commenti e farò una sorta di copia-incolla realizzando dei veri e propri articoli. Ritengo infatti che i suoi commenti meritino un posto migliore.
      La ringrazio per la suo tempo e per l’attenzione e la passione, l’entusiasmo e la professionalità che emergono dai suoi commenti.
      Un cordiale saluto, Sabrina

      • Scusa Sabrina, lasceresti veramente scrivere articoli di matematica a uno sconosciuto che millanta la dimostrazione dell’ipotesi di Riemann?
        Rendiamoci conto che si tratta solo di baggianate, per cortesia… Di mitomani ce ne sono tanti in giro.

  34. Gentilissima Sabrina, La ringrazio per aver colto lo spirito che anima la diffusione da parte mia di taluni importanti e originalissimi risultati ottenuti dal Prof. Onofrio Gallo, da anni racchiusi in quell’inesauribile scrigno rappresentato dal suo Codex Cervinarensis, e che tali sarebbero rimasti se non avessi avuto la fortuna di attingervi da qualche anno a questa parte. Spero che altri, come ha fatto Lei, colgano l’essenza e lo spirito della mia opera di portavoce appassionato di un nuovo modo di affrontare alcuni importanti capitoli della Matematica che fino a qualche anno addietro sembravano “cristallizzati nel tempo” per sempre. Personalmente mi auguro che il mio lavoro di seminatore di idee innovative( non solo “numeriche”, ma anche ” logiche”) possa contribuire alla nascita di nuovi stimoli avvincenti che possano, a loro volta, calamitare e nel contempo risvegliare l’attenzione e l’interesse di sempre più larghe schiere di giovani verso la divina scienza: la Matematica. La libera circolazione delle idee matematiche, rappresentate da principi, teorie, teoremi, problemi e formule non possono che costituire un esempio “ante litteram” di come già sin d’ora sia possibile contribuire, in modo universale, al di là di protocolli rigidi e burocratici, alla nascita di quello che è stato definito “progetto mondiale per la Matematica, il Digital Math Library o DML” al quale anche l’Italia darà sicuramente validi contributi. Indubbiamente la realizzazione di siffatto progetto è una delle più grandi aspirazioni a cui tendono da secoli i matematici e i ricercatori di ogni paese. Poter accedere liberamente un giorno alla più grande biblioteca matematica mondiale on line di tutti i tempi coronerebbe il sogno di tutti gli scienziati, presenti e futuri. Chi ama la Matematica non solo è chiamato a contribuire con entusiamo a tale progetto, ma, in tale ottica, deve farsi egli stesso portavoce e messaggero. Un imperativo categorico che, per principio, è alla base del mio impegno per la libera diffusione della Matematica e dei suoi sviluppi. In tale ottica ho l’impressione che siamo sulla strada giusta! Cordialmente, Umberto Esposito.

  35. FROM THE GALLO Z-MIRABILIS THEOREM TO THE GALLO RH- MIRABILIS THEOREM (Ex Riemann Hypothesis)
    It is well known that April 14, 2010 the Italian mathematician Onofrio Gallo (b. May 13, 1946 at Cervinara, Valle Caudina), based on its Z-Mirabilis Theorem, by the so-called Gallo RH-Mirabilis Theorem (April 14, 2010, filed on April 30, 2010 in his memory in Oslo at the Norwegian Academy of Sciences and Letters) provided the first demonstration in the world of the famous Riemann Hypothesis (“non-trivial zeros of the Riemann zeta function have real part equal to ½ “) in just seven lines.
    Although the Italian mathematician had already given another ( Riemann-Gallo RH Theorem, filed in 2004 in Oslo at the academy cited), founded on the Gallo’s Principle of Dis-identity and on the Gallo Second General Principle of Knowledge.
    For convenience of scholars read as follows:

    THE Z-MIRABILIS THEOREM OF GALLO
    “If G (z) is a complex function, where z = x + iy (with x, y real non-zero) is a complex zero of the equation (1) G (z) = 0 and if (2) F (z) = (z- x) / y is the Gallo’s general complex function of symmetry associated with general complex solution (3) z = x + iy of the equation (1), then z1 = x+iy and z2 = x – iy are complex conjugate zeros of the equation (1) if, and only if, it is verified the Gallo’s condition of symmetry (4) F (z1) = – F (z2)”.

    When the complex function G (z) coincides with the Riemann zeta function the RH-Mirabilis Theorem of Gallo it is a special case of the Z-Mirabilis Theorem of Gallo, .
    In this case it follows that the same Riemann Hypothesis is a special case of the Zeta-Mirabilis Theorem of Gallo ( March, 10, 2005).

    THE RH-MIRABILIS THEOREM OF GALLO (ex Riemann Hypothesis )
    ” If z = x + iy (z≠ 1; x ,y real non-zero, i imaginary unit ) is a nontrivial zero of the Riemann zeta function ζ (z) , then ζ (s) = 0 and ζ (1-s)= 0, with s and 1-s complex conjugate non trivial zeros of the Riemann zeta function, if, and only if, Re (z) = 1 / 2 ”

    Proof.: To the generic Riemann complex nontrivial zero z = x + iy of the Riemann zeta function ζ (s) remains associated the complex function of symmetry of Gallo (1) F (z) = (z -x) / y.
    By Z-Mirabilis Theorem of Gallo, being for hypothesis ζ (s) = 0 and ζ (1-s) = 0, it follows that must be satisfied the following condition of symmetry of Gallo (CSG) F (s) = -F(1-s).
    And since F (s) = (s –x) / y on the one hand and F (1-s) = (1-s- x) / y on the second, the (CGS) implies that to be satisfied the Gallo’s algebraic equation of symmetry (s-x) / y = – (1-s-x) / y, so the ” Gallo’s characteristic” of the real part of z =x+iy , i.e. Re (z) =x = 1 / 2.
    It follows that, since s and 1-s are also the Riemann non trivial zeros of the Riemann zeta function ζ (z) , must be Re (s) = Re (1-s) = 1 / 2.
    Therefore, in general, we have proved that any z=x +iy non-trivial complex zero of the Riemann zeta function is characterized by Re (z) = 1 / 2 ( i.e. the Riemann Hypothesis). Q.E.D

    The dream of Riemann: “Ideally, of course, that was available on a demonstration of this assertion: But I put aside for the moment this research after a few unsuccessful attempts, since it seems to me unnecessary for the immediate purposes of my study ” is thus finally come true.

    ADDENDUM It is known that Onofrio Gallo in 2004, on the basis of the Gallo prime numbers of the first kind of the same class and grade 1, by means of the Gallo psi function, succeeded in obtaining in the field of complex numbers, a parallel theory to that of known function ζ (zeta) of G. B. Riemann ( 1826-1866).
    The Gallo ψ (psi) function allowed to understand it then, but not prove, by extension, after nearly a century and a half, because the famous Riemann hypothesis or conjecture (1859), then still unproven, is that the non-trivial complex Riemann zeros of Riemann zeta function should probably always have their real parts equal to ½.
    Here is a comparison between the zeros of the Gallo zeros of ψ (z) = 0 and the Riemann zeros of ζ (z) = 0
    Gallo zeros of ψ (z) = 0 Riemann zeros of ζ (z) = 0

    h= x-iy e k= x+iy z = x+yi
    with x=1 such that p = 2hk/(h+k) with x=1/2 ?
    ————————————————————————————-
    p x h = x-y i k= x +y i z x y
    2 1 1-i 1+i z ½ 14,134725…
    3 1 1-i√2 1+i√2 z ½ 21,022040..
    5 1 1-2i 1+21 z ½ 25,010856…
    . . . . . . .
    p 1 1-i√(p-1) 1+i√(p-1) z 1/2 ? y=?
    We prove now, as an exercise, which, by the Gallo Z-Mirabilis Theorem , the real part of the Gallo zeros z = r + is (r, s real non-zero) the Gallo function psi is always 1; i.e. R (z) = 1. If (1) z = r + is (r, s non-zero real numbers) is the generic Gallo’s zero of the Gallo function psi , then the Gallo complex function of symmetry, associated with (1), is the (2) F ( ) = (z-r) / s. If k = x + yi and h= x-yi and are two Gallo zeros (or Gallo harmonic numbers) of the Gallo function psi, then it must verify the Gallo condition of symmetry: (CSG) F (h) =- F(k). It follows that, after simple calculations, we get x = r. But, for a Gallo Fundamental Theorem on the Gallo’s Theory on Harmonic Primes Numbers (using the Fundamental Theorem of Fermat (1640)), we know that must be x = 1 so that it is also x = r = 1, i.e. Re (h) = Re (k) = r= 1. q.e.d. News by Umberto Esposito courtesy of the author.

  36. TERNE PITAGORICHE TRIANGOLARI DI GALLO
    E’ noto che nel 1961 Waclaw Sierpinski riporta un esempio di terna pitagorica triangolare non banale, dovuto al matematico polacco Kazimierz Zarankiewicz (2 maggio 1902-5 settembre 1959).
    Si tratta della prima ed unica terna pitagorica “triangolare” TPT= (A1, B1, C1)=(Ta ,Tb , Tc ) con generatori a=132, b=143 e c=164, cioè la terna (A1, B1, C1) = (8778, 10296, 13530), ( essendo 8778= 133×133/2; 10296= 143×144/2, 13530=164×165/2) in quanto il simbolo Tn = n(n+1)/2 ( il numero n lo definiamo generatore di Tn ) rappresenta l’n-simo numero triangolare dei pitagorici, uguale alla somma degli interi naturali da 1 ad n.
    Tuttavia solo nel 1979 D.W.Ballew e R.C.Weger stabilirono le condizioni necessarie e sufficienti affinchè una TPT sia una terna pitagorica “triangolare” ; il che si verifica, se, e solo se, il quadrato della prima componente di TPT è la somma di tutti i cubi degli interi che vanno da b+1 fino al valore c e, analogamente, il quadrato della seconda componente di TPT è la somma dei cubi che vanno da a+1 fino al valore c. Se (A,B,C) è una TPT, ossia è una terna pitagorica triangolare, allora risulta: (1) A^2 + B^2 = C^2 Sembrerebbe dunque, a prima vista, che la ricerca delle TPT possa essere agevolata dalla risoluzione del seguente
    Problema :Trovare i quadrati esprimibili come somma di cubi di numeri consecutivi
    Ma tale problema non fa altro che complicare le cose; in quanto, di fatto, neppure D.W.Ballew e R.C.Weger furono in grado di calcolare qualche “nuova”terna pitagorica triangolare.
    Lo stesso dicasi di R .J. Strocker che nel 1995 osservò che le TPT si potevano ricercare tra tutte le soluzioni in cui i numeri cubi consecutivi che vi figurano sono al più 50 o esattamente 98: ma, per sua sfortuna, tra tali soluzioni appaiono solo due quadrati di numeri triangolari che, guarda caso, coincidono proprio con i valori A1= 8778 e A2= 10296 di Zarankiewicz .
    Lo stesso Strocker assicurava che fino al 1995 non erano state trovate altre TPT oltre quella di Zarankewicz, riportata da Sierpinski nel 1961.
    Su questo argomento esiste una vera e propria lacuna sul WEB dove praticamente si sa solo all’incirca quanto appare in precedenza.
    Fino al 1995 dunque non solo non si sapevano calcolare altre terne pitagoriche triangolari, ma fatto ancora più importante, non si sapeva neppure se di esse ne esistessero un numero intero t >1 finito o infinito.
    Ma già l’anno successivo, nella primavera del 1996, il matematico italiano Onofrio Gallo (n.13 maggio 1946 a Cervinara, Valle Caudina) trovò, oltre quella di Zarankiewicz, varie decine di terne pitagoriche triangolari con un metodo originale che figura nel suo Codex Cervinarensis.
    In base a tale metodo sembra di poter affermare che il numero t è infinito.
    Per cominciare a colmare la lacuna su questo tema riportiamo, per comodità degli Studiosi, alcune delle “terne pitagoriche triangolari di Gallo”. 1) (T2 182 452 132: T2 182 452 143; T2 595 387 610): 2) (T8 293 317 732 : T8 293 317 743 ; T 9 862 472 461):3) T8 729 808b132: T 8729 808 143; T1. 038 154 445x10exp10): 4) (T1. 440 418 333x10exp10 : T1. 440418 334x10exp10 ; T1. 712 955 731x10exp10): 5) (T 1. 527 716 413x10exp10: T 1. 527 716 414 x10exp10 ; T1. 816 771 229x10exp10): 6) (T2. 662 591 453.x10exp10: T2. 662 592 454 x10exp10; T3. 166 372 x10exp10).
    E’ significativo il fatto che la terna pitagorica triangolare “successiva” a quella di Zarankewicz ( dell’ordine di 10^2, ), qui riportata, sia dell’ordine di 10^9. Sembrerebbe che in tale intervallo di ordini di grandezze non esistano altre terne pitagoriche triangolari, ma la cosa non è del tutto certa. Invitiamo gli Studiosi a dare una risposta in merito.
    News a cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.

  37. GALLO PYTHAGOREAN TRIANGULAR TRIPLES
    It’s known thatt in 1961 Waclaw Sierpinski shows an example of a not trivial Pythagorean triangular triple, due to the Polish mathematician Kazimierz Zarankiewicz (2 May. 2, 1902-Sept., 5, 1959) This is the first and only Pythagorean triangular triple PTT = (A1, B1, C1) = (Ta, Tb, Tc) with generators a = 132, b = 143 c = 164, i.e. the triple (A1, B1, C1) = (8778, 10296, 13530), (since 8778 = 133×134 / 2; 143×144 = 10296 / 2, 164×165 = 13530 / 2) because the symbol Tn = n (n +1) / 2 (we define the number n the generator of Tn) represents the n-th triangular number of the Pythagoreansn which is equal to the sum of natural integers from 1 to n. However, only in 1979 D.W. Ballew and R.C.Weger established the necessary and sufficient conditions so that a PTT is a Pythagorean “triangular” triple , which occurs if, and only if,” the square of the first component of TPT is the sum of the cubes that go from b +1 to the value c” ; and, similarly,” the square of the second component of TPT is the sum of the cubes that go from a +1 to the value c.” If (A,B,C) is a PTT, i.e. a Pythagorean triangular triple, then we have(1) A^2 + B^2 = C^2. It would appear, prima facie, that the search for PTT can be facilitated by the resolution of the following Problem: “Find the square can be expressed as the sum of cubes of consecutive numbers “ But this issue does nothing but complicate things, because, in fact, even D.W.Ballew and R.C.Weger were able to calculate some “new” Pythagorean triangular triple. The same is true of R. J. Strocker who in 1995 observed that PTT could search “through all the solutions in which the cube numbers that appear in consecutive blocks are at most 50 or 98 exactly”, but to his misfortune, such solutions appear only between two squares of triangular numbers, just happens to coincide precisely with the values A1= 8778 and A2 = 10296 of Zarankiewicz. The same Strocker assured that until 1995 had not been found other PTT than that of Zarankewicz, reported by Sierpinski in 1961. On this subject there is a real gap on the Web where you basically only know about what you see above. Until 1995, therefore, not only do not know calculate other Pythagorean triangular triples , but more importantly, do not even know if they will exist an integer t> 1 finite or infinite. But already the following year, in spring 1996, the Italian mathematician Gallo Onofrio (b. May,13, 1946 in Cervinara, Valle Caudina) found, in addition to Zarankiewicz, dozens of Pythagorean triangular triples with an original method which appears in his Codex Cervinarensis.Under this method seems to say that the number t is infinite. To begin to fill the gap on this issue we report, for the convenience of scholars, some of the ” Gallo’s Pythagorean triangular triples””. 1) (T2 182 452 132: T2 182 452 143; T2 595 387 610): 2) (T8 293 317 732 : T8 293 317 743 ; T 9 862 472 461):3) T8 729 808b132: T 8729 808 143; T1. 038 154 445x10exp10): 4) (T1. 440 418 333x10exp10 : T1. 440418 334x10exp10 ; T1. 712 955 731x10exp10): 5) (T 1. 527 716 413x10exp10: T 1. 527 716 414 x10exp10 ; T1. 816 771 229x10exp10): 6) (T2. 662 591 453.x10exp10: T2. 662 592 454 x10exp10; T3. 166 372 701 x10exp10). And it’s significant that the”next” Pythagorean triangular triple to that of Zarankewicz (of the order of 10 ^ 2, above) is of the order of 10 ^ 9. It would seem that in this interval of orders of magnitude there does not exist other PTT, but the thing does not completely sure. We invite scholars to give an answer on. News by Umberto Esposito courtesy of the author.

  38. DALLA MATEMATICA… ALLA POESIA DI ONOFRIO GALLO
    “Una Misteriosa legge del Tempo vuole
    che, pitagoricamente, il nostro Dio sia l’UNO”
    Anonimo
    “La cifra si traveste di preghiera e il letto d’oro sulla sommità del Tempio di Belo accoglie la Sacra Vergine scelta dal Caso tra Tori e Leoni di fuoco: stanze alate, velate di alabastro, dove regnano sovrani il Silenzio e la Penombra.
    La triade astrale si ricompose: Sin, Shamash e Ishtar si ricongiunsero ancora una volta nella notte che emanava odori d’incenso, trafitti dalla luce tenue che a stento penetrava dal tetto a terrazza, provenienti dai giardini pensili del Grande Nabucodonosor”
    (O.G. Da Pitagora a Fermat )

    E’ ben noto che matematica (la “divina scienza”, si pensi a quanto affermò lo stesso S. A. Ramanujan “Signore, un’equazione per me non ha alcun significato, a meno che non rappresenti un concetto divino”) e poesia (il “divin sentir”) rappresentano, con la musica, le arti figurative e scultoree, le più alte sfere della creatività umana. La poesia ai giorni nostri è pervasa da concetti e procedimenti combinatori propri delle matematiche (Queaneau, Perec, Borges, Neruda, Blake. Pound, ecc. )e procedimenti costruttivi letterari che confinano o che sconfinano in quelli dell’assurdo matematico (si pensi ancora a Borges e a Cantor, Lewis Carroll, a D. Buzzati, ecc.) o a procedimenti para-matematici che involvono le strutture algebriche, topologiche, insiemistiche, casuali, quelle “ad albero” e che non disdegnano talvolta audaci incursioni nelle serie numeriche (tipo quella di Fibonacci, ecc) o che si avvalgono di costanti matematiche come pi-greco (chi non ha mai incontrato poesie sul tema?), il numero “phi”( Dan Brown), il numero “e“ di Neper o di procedimenti induttivi per pervenire al oncetto d’infinito ( Calvino) o di quelli pseudoanalitico cartesiani-psicologici (Kandisky e il linguaggio posizionale della retta intesa come funzione delle sensazioni psicologiche dell’osservatore delle sue opere); fino a giungere ad opere letterarie di vario tipo che s’ispirano alla Congettura di Goldbach, al Teorema di Pitagora, all’Ultimo Teorema di Fermat, alla stessa Ipotesi di Riemann; ma anche alle logiche dell’assurdo (a partire da E.A. Poe fino agli autori odierni di thriller, veri e propri esperti della “teoria dei grafi” applicata alle relazioni sociali e ai loro squilibri), agli arcani ermetici di certe opere a sfondo esoterico, che, a partire dai poeti greci, gli eruditi alessandrini (Callimaco) e quelli latini (Catullo), hanno condotto alla corrente poetica dell’ermetismo del XX secolo, i cui corifei in Italia formano la triade Ungaretti- Quasimodo-Montale) e che, in qualche caso, si sono spinte fino ad orbitare intorno alla logica booleana… e via dicendo. La tradizione vuole che molti grandi matematici abbiano coltivato anche la poesia. Si pensi ai matematici greci, arabi, persiani, indiani, cinesi, giapponesi: tra costoro ricordiamo brevemente i più noti: Eratostene di Cirene, Archimede, Omar Khayyam, Tartaglia, Fermat, Galois, Cauchy, Gauss, fino allo stesso E.T. Bell, tralasciando quelli più recenti. Ma vi sono stati anche matematici e uomini di lettere che hanno investigato, ciascuno a suo modo, i procedimenti creativi ai confini tra intuizione e razionalità, come R. Caccioppoli, I. Calvino, G. Flaubert, J. Hadamard, G.H. Hardy, V Hugo, W. James, S. V. Kovalevskaya, H. L. Lebesgue, G. W.Leibniz, M. G. Mittag-Leffler, R. Musil, G. Papy, J. H.Poincaré, E. Quinet, F. Severi, L. Sinisgalli, D. E. Smith, P. Valery, Voltaire, H. Weyl, ed altri ancora, compreso naturalmente lo stesso Onofrio Gallo (che suol definirsi “prima poeta e poi matematico”).
    Qualche pensatore, tipo il logico L. Wittgenstein, ha condannato la matematica per l’eccessivo uso di espressioni metafisiche, mentre qualche altro, come il filosofo Novalis, ha sostenuto perfino che “…la matematica pura è una religione”,mentre i matematici sarebbero “ gli unici unti dal Signore.”
    Vi sono stati alcuni matematici di grande statura che in modo convinto hanno sostenuto l’esistenza di un profondo legame tra la matematica e la poesia. emblematico è il caso di K. Weierstrass il quale affermò che ” Un matematico che non sia in parte anche poeta non può essere un matematico perfetto”. Così, come già evidenziato, vi sono stati molti poeti che, simmetricamente, hanno intravisto un misterioso legame tra l’arte della poesia e l’arte dei numeri, soprattutto in termini di un’armonìa estetico-combinatoria. In altri termini l’eleganza di una dimostrazione matematica (dal Teorema di Euclide sull’infinità dei numeri primi…al Teorema RH-Mirabilis di Gallo) si può collocare sullo stesso piano della bellezza e della liricità racchiusa in un sonetto o, più in generale, o in una composizione poetica che lascia il segno nell’animo di chi legge (si pensi agli immortali versi del “L’ infinito” di Giacomo Leopardi o a quelli relativi a molti episodi e personaggi della Divina “Commedia” di Dante Alighieri, che fu sì un sommo poeta, ma oserei dire un poeta-matematico eccezionale, tenuto conto in quale considerazione teneva egli la “divina scienza”).
    Senza immaginazione e senza gusto estetico non esisterebbero né i capolavori dei matematici, né quelli dei poeti. Non sorprenderebbe pertanto che un giorno qualcuno potrebbe addirittura trovare molta più matematica nelle opere poetiche di Onofrio Gallo che in un qualsiasi trattato sui numeri!
    Se da un lato è nota l’”irragionevole efficacia” della matematica in Fisica, lo stesso E .P. Wigner (1902- 1995) affermò che le uniche due branche delle matematiche che non avevano avuto relazioni dirette con la Fisica erano la Teoria dei Numeri e la Logica matematica, continuando ad avere ancora ragione sull’”inefficacia” di quest’ultima in Fisica, ma non sulla Teoria dei Numeri.
    D’altra parte, a conclusione del capitolo relativo alla sua Mathemantics ( o TMPECF), “la quarta rivoluzione scientifica a cavallo tra il XX e il XXI secolo dopo le Teorie della Relatività di Einstein,dopo la Meccanica Quantistica e dopo la Computer-Science ”, come da taluni è stata definita la più ardita concezione semi-logico-matematica di ogni tempo, relativa alla previsione dei “singoli” eventi casuali futuri (oltre le teorie qualitative e probabilistiche), lo stesso Onofrio Gallo ha evidenziato lo strettissimo legame intercorrente tra la poesia e la matematica:
    “E’ chiaro che il nostro determinismo casuale sotteso dalla nostra Teoria Matematica delle Previsioni degli Eventi Casuali Futuri (discreti) o TMPECF o Mathemantics, presuppone la negazione del Principio di Equiprobabilità (il che implica, a sua volta, la negazione del Principio d’Indipendenza tra due eventi casuali consecutivi). Dunque vale il Principio di Causalità Generale, intravisto da Niels Bohr (1885-1962) ( il quale affermò “ è difficile prevedere qualcosa, soprattutto il futuro”) e da Albert Einstein (1879-1955), oltre che da John von Neumann (1903-1957) e, prima ancora di questi celebri scienziati, dal poeta Francis Thompson (1859-1907) nella sua Ode Orientale: ”Tutte le cose da un immortale/ potere / vicino o lontano/ segretamente / si ricollegano le une alle altre, / così che non puoi toccare un fiore / senza turbare una stella”, anticipando lo stesso tanto decantato “effetto farfalla” di Lorenz, nonchè lo stesso Principio di Causalità Generale, racchiuso nel celebre motto einsteiniano “Dio non gioca a dadi!”.
    Che il Principio di Causalità Generale possa essere in grado di assorbire in sé anche il Determinismo Casuale di Gallo è ormai un fatto assodato.
    Alcune molecole biologiche, studiate da un punto di vista “meccanicistico” in funzione dei loro legami, hanno dimostrato che, pur essendo le interazioni tra esse di tipo stocastico, sono suscettibili delle variazioni ambientali. La “casualità” di tali interazioni fino ad oggi aveva indotto i ricercatori ad eseguire la raccolta dei dati in modo statistico, mediante la ripetizione di test identici, dando essi per scontato che ogni test fosse indipendente dagli altri. Ma alcuni ricercatori del Georgia Institute of Technology hanno dimostrato qualche anno fa che non è sempre così.
    I loro risultati, in base ai dati raccolti studiando le proprietà biomeccaniche delle singole molecole, sono apparsi nel 2007 sui Proceedings of the National Academy of Science..
    Essi non hanno fatto altro che osservare, dopo circa un quarto di secolo, quanto evidenziava la TMPECF di Gallo, ossia che in alcuni test tra recettori dei linfociti T e i corrispondenti antigeni si verifica un’anomalia, per cui le serie di legami tra due molecole, anziché avvenire in modo casuale, avvenivano sequenzialmente, una dopo l’altra. Ci sono casi, come accade per le cellule T, in cui l’evento legato all’interazione aumenta la probabilità che ne avvenga un’altra; casi in cui, al contrario, un’interazione riduce la probabilità del verificarsi di quella successiva, mentre in altri casi ancora tali eventi sono del tutto indipendenti. Pertanto, in linea generale, non sempre le interazioni tra le molecole risultano essere indipendenti. Il responsabile della ricerca, Cheng Zhu, concluse, perciò, che non poteva più essere data per scontata l’indipendenza dei singoli test ed affermava:
    “Al contrario credo a questo punto che le conclusioni di alcune ricerche condotte secondo tale assunzione debbano essere riviste”.
    Non è escluso, dunque, che tale forma di memoria molecolare, com’è stata definita da qualcuno, possa essere responsabile della capacità da parte delle cellule immunitarie di operare una “distinzione” tra ciò che è proprio degli organismi da ciò che ad essi non appartiene.
    Ѐ la prima volta dal 1955, anno della morte di Einstein che fa capolino nella Scienza ufficiale, il concetto secondo cui “il caso ha memoria”, vale a dire la validità del Principio di Causalità Generale ed è la prima volta, dagli anni ’80 del XX secolo, che il Determinismo Casuale di Gallo trova conferma anche in campo biologico!
    Per quanto riguarda la ”poesia della matematica”, non fu forse K.F. Gauss ad affermare:“Non immaginate quanta poesia sia presente in una tavola di logaritmi”, lui che in precedenza aveva affermato che “la matematica è la regina delle scienze, la teoria dei numeri è la regina della matematica”.
    Si tratta di una considerazione da lui fatta subito dopo aver portato a termine le sue ricerche sui logaritmi, che evidenziavano uno stretto “legame” tra l’irregolarità (imprevedibilità? casualità?) della distribuzione dei numeri primi e la regolarità del graficodella sua formula, in termini della “funzione logaritmo”, creata per la valutazione della quantità di numeri primi compresi tra 1 ed un numero intero naturale n e che più tardi perfezionò ancora usando la sua “funzione logaritmo integrale” Li(n).
    Anche se non tutti sono al corrente del fatto che i numeri primi non sono affatto “irregolari”, e meno che mai, “casuali”, in quanto, come ha dimostrato lo stesso matematico cervinarese, è sufficiente costruire la Successione di Gallo SG= (5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, ….) di ragioni alternate d1=2 e d2=4, per rendersi conto che così non è. Infatti, affinchè un numero naturale non nullo n > 3 sia un numero primo, è necessario che esso sia un elemento di SG.
    Per cui, aggiungendo i numeri primi 2 e 3 agli elementi primi di S, si può affermare che l’insieme infinito (2,3 , SG) contiene tutti gli infiniti numeri primi in ordine strettamente crescente.
    Il che è vero in base ad un noto Teorema di Dirichlet.
    Il matematico cervinarese è sempre stato convinto che laddove la matematica fallisce per formule, essa non fallisce se si ricorre a strutture matematiche opportune.
    Ritornando ai rapporti della matematica con la poesia, si fa presto a collegare la stessa matematica con la musica.
    Vi è stato perfino chi ha proiettato la luce della poesia al di là del formalismo associato alle strutture assiomatiche e deduttive della matematica.
    Del resto non fu forse Pitagora per primo a scoprire le mutue strettissime interrelazioni tra matematica e musica e a scoprire le prime leggi musicali? Le grandi composizioni poetiche non rispettano esse stesse un implicito ordine intuitivo- logico-estetico-musicale che si concretizza nella compiuta elaborazione delle sensazioni dell’autore che alla fine sfociano nel verso?
    E l’armonia musicale, creata dai poeti prima nella loro anima, a sua volta non è forse collegata e collegabile all’“armonia musicale” che, per riverbero, essi trasmettono alla sensibilità dei loro lettori? Si potrebbe persino affermare che la grande matematica come la grande poesia sono tali solo quando esse emozionano e coinvolgono il maggior numero di persone possibile.
    Non è dunque fuori luogo in questa sede riportare alcune composizioni poetiche di Onofrio Gallo per la gioia dei matematici che amano la poesia e dei critici letterari che amano i poeti, ma che spesso non sanno spiegarsi” il perché” del profondo legame tra poesia e matematica ad un certo livello. In quel che segue abbiamo selezionato alcune tra le migliaia di poesie che figurano nelle opere edite e inedite contenute nella Sezione Poesia del Codex Cervinarensis. Si tratta di poesie ben note, già pubblicate, anche se l’inedita poesia “Dante e Beatrice” appare qui per la prima volta in assoluto.
    Della statura matematica e poetica di Onofrio Gallo si occuperanno i posteri in misura prevedibilmente molto più approfondita di quanto hanno fatto sino ad oggi i contemporanei, ma una cosa è certa: senza la poesia e senza la matematica di Onofrio Gallo nessuno avrebbe mai conosciuto, né i vari teoremi “mirabilis” relativi alla prima dimostrazione diretta dell’Ultimo Teorema di Fermat (1993) e alla prima dimostrazione elegante e sintetica (solo sette righe) dell’Ipotesi di Riemann, ora Teorema RH-Mirabilis di Gallo (2005 e 2010); né tantomeno i seguenti geniali “capolavori poetici”, tratti dalle sue raccolte “Poesie”(Roma, 1970); “Canti Autobiografici” (Milano 1972); “I Violini del Cosmo” ( Catanzaro, 1979) che appaiono in questa brevissima sintesi antologica dal titolo….
    CINQUE PEZZI FACILI DI POESIA…DA DANTE A JOYCE

    CREAZIONE

    Atomi inconoscibili
    Si riversano nel Nulla
    (da” Poesie” )

    TRITTICO D’AMORE

    DANTE E BEATRICE

    Pioggia eterea, iri da iri, sì mirabil a dir
    Non vid’io mai per l’Universo gir,
    Né suoni similmente dolci e soavi
    Appena percettibili e cavi per venti procellosi e gravi;
    Né lucer di stella o incerto sfavillar di candela
    Vid’io mai più tremolar di quella isnella e anela
    Diffondersi in ogni dove; né a primavera
    Fior più luccicanti a prima sera
    Pel gioco evanescente delle stelle,
    Né alchimìe d’ori forbiti o perle ornate di belle,
    Ricche, superbe madonne fiorentine;
    Né aquile in ambasce volgersi più repentine
    E rapide addrizzarsi a lor dove, se cacciate;
    Né gesta più garbate che in lei, Beatrice, vid’io mai celate.

    FRANCESCO PETRARCA
    Laura, che cantando vai Lodi d’amore tre i dolci prati In fior e i boschi ameni e soavi, onde i lai D’ogni specie per sempre fûr cacciati
    Dai garruli gorgeggi degli alati Che mai volâr pel ciel sì allegri e veloci, Gli occhi tuoi vid’io incantati Sotto il sole, novelle stelle occidue e fallaci:
    A che morir? Non te ne andar, mi piaci Anche se, forse, or nulla di me ti cale O forse obliati hai già tutti i miei baci,
    I miei sogni, i miei incanti, pensieri Della mia fresca gioventù…Tu taci, Mentr’io ancor ti bacio, come ieri.
    (da “Canti Autobiografici”)

    GIOVANNI BOCCACCIO
    O Fiammetta, tenera e gentile, Ch’al cor mio amoroso Lacrime atroci meni, mentr’io servile Adoro il tuo bel corpo armonioso,
    Altrui lascia le pallide dimore De’ palagi e meco vieni ai campi verdi, Chè fluiscon veloci l’ore De’ mortali e senza scampo perdi
    Attimi divini!…A che indugi, Amor? Che ti rattien dall’amor mio? Non vedi il sole che risplende
    E l’erbe soavi e pregne d’umor? Non senti, dunque, quinci ‘l filar del rio Quindi il mio desìo che a te protende?
    (da “Canti Autobiografici”)
    EZRA POUND
    Musica nel tempo. Coro di voci senza tempo. Violini tra i limoni ed ombre Spumeggianti sul mare squarciato Dal Sole amaro…Mi appoggio, lento, Al mio bastone antico e come gli uomini Salgo per l’irta strada della morte E prego, solo, con l’antica voce dei poeti… Molte cose affiorano alla mente, Ma cerco di non pensare al mio passato: New York e le sue notti, Londra e Parigi, Pisa e Firenze e Venezia….Cerco di non pensare Alle mie montagne di luna ed ai sapori Del silenzio. – Nacqui nell’Idaho, alle falde Delle Montagne Rocciose…ma non ricordo queste Montagne occiose dove sono nato…Spero Sempre di poter ritornare prima Di morire…O dio dei ricordi, mi turbano I ricordi del tempo che muore!… Avanzo ancora per la lunga irta strada della morte Ed in cima scorgo appena volti Di ieri, di oggi, di sempre: Joyce, Hemingway E il dolce Eliot. No, non s’accorgono di me, Ché ho le chiome bianche, novello Ulisse Giunto dal passato per inventare il futuro!… Molti hanno avuto il tempo di parlare. Molti non parleranno più…Ora non mi Occupo più di quadri e di scultori; Forse neppure di me stesso, prigioniero dei cubi Del cielo e degli occhi della Terra… Molti hanno parlato… Ma, se la brina Afferra la mia tenda, renderò grazie; Ché la notte è consumata, ora che il Sole Per sempre è tramontato.
    (da “I Violini del cosmo”)

    JAMES JOYCE
    No, non coglierò stasera l’erbe
    Di Simeta, né seguirò l’appello
    Del destino: cercherò il silenzio
    Nel suo antro giovane, irrobustito
    Dal tempo e dalla mia incoscienza…
    No, non scriverò saggi stasera:
    Oblierò “Dedalus e “Ulysses” nel cassetto,
    Richiamerò l’essere all’essere
    Cercherò nuovi orizzonti d’arte:
    Creerò un mondo in cambio d’un fiore,
    Un sistema al posto della psiche,
    Baratterò l’infinito con un piccolo
    Piccolo granello di sabbia incolore…
    Mi gioverò di mille odori starni,
    Di mille volti nuovi e mille saranno
    I miei pensieri metallici, come la vita,
    Lame brillanti, taglienti, sottili,
    Come gli asfodeli dei peccati…
    Mille volte io morrò, né morrò mai
    Stasera.

    ( da “Canti autobiografici”)

    RELATIVITA’
    Apro gli occhi: un attimo. Chiudo gli occhi: un’eternità…Chissà?
    (da “Poesie”)

    Per ulteriori notizie e approfondimenti sulla poesia di Onofrio Gallo si veda il sito maidireblog.blog.kataweb.it/mai…/comment-page-2/ -…… La poesia su Boccaccio ( con alcune modifiche) appare anche in http://www.premiorenatofucini.it/opere.php?id=88 -; mentre quella su Petrarca, insieme a quella su Boccaccio, è stata anche pubblicata a Roma nel 2004.
    NEWS a cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.

  39. NEWS FROM ITALY Some recent results obtained by the Italian mathematician Onofrio Gallo (b. May 13, 1946 at Cervinara , Valle Caudina )the mathematicus mirabilis ● the TFA – Mirabilis Gallo Theorem ( shown by the Fundamental Theorem of Algebra in only 10 lines . Of this theorem Onofrio Gallo gave five demonstrations )● the K – Mirabilis Gallo Theorem ( part of the family of theorems ” mirabilis ” that with the Principle of dis-identity of Gallo and the Gallo Second General Principle of Knowledge behind his original and surprising non Euclidean Iperbolic Mirabilis Algebra Gallo) ● the B&SD – Mirabilis Gallo Theorem ( the first demonstration world of the Birch &Swinnerton – Dyer’s Conjecture, which also contains numerous examples of area – congrui problems (calculation of the rational sides of right triangles , given the area n) and of area- quasi.congrui problems created by Onofrio Gallo● the fundamental and original N-E-Mirabilis General Gallo Theorem (the existence of natural events)
    “Necessary and sufficient condition , so any natural phenomenon is occurring , it must exist at the base the hidden symmetries , relating to at least two asymmetric substates entropy);in other words , if S ( E ‘ ) and S (E ” ) are two asymmetric substates entropy related to the phenomenon or natural event E, the future event Ewill occur ( exists ) if and only if ,these substates will be checked for the following two principles of Gallo: i ) Principle of hidden symmetry of Gallo :
    (CGSN) ih [S(E’)] = – i k[S(E’’)]
    where the values hek are solutions ( dependent continuous or discrete variables ) related to the equation ( which is not generally known ) on the future state of existence of E ;
    ii ) the Second Law of General Knowledge Gallo: S( E ‘ ) * S ( E ” ) = E ( * ) “
    (In the Codex Cervinarensis are reported dozens of applications of the E-N- Mirabilis General Gallo Theorem in the field of theories and physical phenomena related to the asymmetry between matter and anti – matter ; to asymmetry of single spin; to the ‘ unexplained ‘ existence of anti – neutrino; to the Dirac theory and to the Yang -Mills equation , and so on.)
    News by Prof. Umberto Esposito from Codex Cervinarensis courtesy of the author.

  40. IL CODEX CERVINARENSIS -MATEMATICA PER GLI EREDI DI ARCHIMEDE
    Che cosa dire di quello che potrebbe essere stato fino ad oggi il più misterioso e diventare domani il più geniale matematico “più visto” on line (che paradossalmente di fatto nessuno ha mai visto)? Stiamo parlando del matematico italiano Onofrio Gallo (nato nel 1946 a Cervinara, Valle Caudina), da qualcuno definito “il genio senza volto della matematica” o anche “il matematico che da del tu al Caso” la cui fama cresce ogni giorno di più e che attualmente occupa indubbiamente un posto di rilievo nella matematica discreta tradizionale e non, che egli domina col suo egocentrismo non disgiunto dal suo messaggio profondamente innovativo. Quando ci si imbatte nella cosiddetta matematica di Gallo sorge spontaneo chiedersi se, in ultima analisi, la Matematica non sia un’arte speciale? Un’arte che richiede tanta passione, tanto ego e tanto egoismo. Non sono stati e non sono forse ancor oggi questi i suoi fiori all’occhiello?
    La matematica di Gallo si colloca al di là di quello che potrebbe sembrare tutto solo show in fatto di matematica, per così dire, ordinaria.
    Uno show rappresentato on line dalle incerte ed aleatorie wikivetrine, equivalenti a quelle arcaiche ed antiquate delle confraternite di basso profilo della matematica di un tempo, spesso rappresentate da varie Accademie sparse in Italia nelle quali il refrain matematico “2+2 fa sempre e solo 4” è ripetuto ad libitum.
    E’ per tale motivo che l’opera matematica del genio cervinarese, per chi fino ad oggi ne ha recepito il messaggio, lo spirito e l’importanza, proprio per il suo carattere altamente innovativo e rivoluzionario, non può essere esposta in siffatte vetrine, ma in vetrine ben più degne e prestigiose, aperte alle innovazioni più profonde (in quanto, come e gli dimostra nella sua opera, 2+2 non fa sempre 4!).
    La sua opera sterminata, racchiusa nel suo tuttora inaccessibile (non certo per colpa dell’Autore) monumentale Codex Cervinarensis è di tipo multiforme. In esssa si trova l’opera di un matematico, di un poeta, di un letterato, di un filosofo, in breve, di un poligrafo che non ha mai ricevuto , né intende ricevere né sovvenzioni né sponsorizzazioni di alcun tipo. In breve, si tratta dell’opera di un libero pensatore che, come ha dichiarato più volte egli stesso, non aspira a premi di alcun tipo. Suscitando per questo, secondo una visione consumistica del mondo ormai di moda, sbigottimento e scalpore in alcuni Soloni pontificanti e sperduti nel plurimillenario mare magnum del consumismo e della logica euclidea. Ma non si è verificato la stessa cosa nel caso del matematico russo Grigorij Perelman? Costoro si chiedono, come sia possibile che il matematico cervinarese si possa concedere il lusso di rifiutare a priori, per principio, premi allettanti (come i Premi del Millennio ed equivalenti) non solo per la traccia che essi lascerebbero sui media, ma anche e soprattutto per la loro dotazione in danaro?
    Un punto di vista indubbiamente valido prima della nascita del WEB. Ma non certamente oggi. Dell’opera del misterioso matematico cervinarese, occorre subito dire che non si tratta di un’opera omnia come viene comunemente intesa, solitamente postuma, ma di un’opera in fieri, in continuo divenire, la quale, per la sua mole ( ha ormai superato ampiamente le ottomila pagine) e la conseguente difficoltà di trascrizione, come si può immaginare, si ritiene non potrà di certo subito approdare nell’industria dell’editoria per essere facilmente vagliata, studiata, approfondita, curata e pubblicata dagli specialisti, soprattutto per due motivi. Il primo è che, per taluni capitoli che figurano nel Codex Cervinarensis non esistono specialisti in grado di vagliare alcunché ( tanto la materia trattata è nuova e originale) a causa del nuovo linguaggio e della nuova logica che è alla base della parte più importante dell’opera. Il secondo motivo è il lavoro lungo e certosino di analisi e di verifica dei risultati dell’intera opera. Si tratta dunque di un’opera che difficilmente nei prossimi anni potrebbe approdare tra le mani o capèitare on line sotto gli occhi degli appassionati di questa o quella disciplina.
    A meno che…a meno che qualche istituzione pubblica o qualche grosso editore o qualche potenza del WEB (Google? Microsoft? e via dicendo) non si avventi sull’ambita preda che alletta, e non poco, gli esperti del settore e ne tragga abbondante succo economico-finanziario in euro o in dollari.
    C’è solo da chiedersi quale sarebbe l’ammontare degli introiti connessi all’operazione in questione (diritti d’immagine, di copyright, diritti TV, diritti cinematografici e di varia pubblicità sui media associabile ai vettori dell’informazione via WEB e non solo). Specie se venisse adoperata la “formula del contagocce” per la diffusione delle decine di scoperte che si trovano nell’opera del matematico cervinarese.
    Il Codex Cervinarensis di Onofrio Gallo, nella sua versione definitiva, si compone di sei Sezioni. La prima Sezione occupa le prime tremila pagine (“Saggi, poesie e scritti vari” a carattere letterario, storico, filosofico, ecc, editi e inediti, comprese le millecinquecento pagine circa relative alla sua autobiografia e a due poderose opere eclettiche di cui non è dato, per il momento, sapere il contenuto, ma di cui si dice un gran bene: c’è perfino chi giura che costituirebbero una trilogia per best-sellers editoriali e per soggetti cinematografici di sicuro successo) . La seconda Sezione, per così dire “mista”, occupa circa mille pagine (“Opere edite e inedite”, articoli e memorie e teorie matematiche e scientifiche).
    La terza Sezione occupa circa duemila pagine ( contiene la TMPECF o Mathemantics e alcune teorie inedite sulla casualità ). La quarta Sezione occupa circa mille pagine (Problemi e teorie matematiche classiche e non) . La quinta Sezione, definita da taluni “leonardesca”, da altri “leopardiana”, occupa oltre mille pagine ( relativa ad una cinquantina di discipline, le più disparate, compresi alcuni progetti, idee, sogni ed invenzioni, una specie di “zibaldone del sapere”).
    La sesta e ultima Sezione, di oltre mille pagine, è costituita da un Glossario Analitico Enciclopedico Come si vede il numero delle pagine del Codex, compresa la sesta sezione, supera le novemila pagine ed è un crogiuolo dove nasce , si fonde e si plasma, in un ciclo continuo, la materia del divenire e dell’essere del pensiero creativo dell’autore.
    Ciò che un tempo nell’ambito della ricerca si considerava geniale e trasgressivo, oggi più che mai può aprire infinite vie alla ricerca e alla ricchezza economica.
    Ed in tal senso investire sul Codex Cervinarensis, al di là dei risultati ottenuti in campo matematico, diventa un’operazione appetibile e pregna di ulteriori ed illimitate possibilità in termini economici e finanziari.
    L’opera del matematico cervinarese si pone indubbiamente all’avanguardia specialmente in due direzioni della ricerca futura. Due campi che molto probabilmente potrebbero tenere occupate le migliori menti matematiche ( e non solo quelle) per vari secoli.
    Le due direzioni cui alludiamo sono rappresentate dalla logica (non euclidea) creata dal nulla da Onofrio Gallo e che si trova alla base della sua TTIE (19899, acronimo della rivoluzionaria Teoria della Trasformazione delle Identità in Equazioni, fondata su due suoi principi fondamentali, il Principio di Disidentità e il Secondo Principio Generale della Conoscenza, mediante la quale egli è pervenuto ai clamorosi risultati, alcuni dei quali già patrimonio dell’Umanità, in quanto alcuni risultati sono già stati diffusi anche sul WEB, come, ad esempio, l’Algebra Iperbolica o Mirabilis di Gallo.

    Si tratta di teorie, dimostrazioni e soluzioni di problemi originalissime.

    Ci riferiamo, naturalmente, alla sua TMPECF (1980-2000 circa), acronimo che sta per “ Teoria Matematica delle Previsioni degli Eventi Casuali Futuri”, nota anche come Mathemantics, opera che per certi versi si pone come antesignana di futuri e impensabili sviluppi nel campo della F-Science (termine coniato dal mathematicus mirabilis come sinonimo di Scienza delle Previsione degli Eventi Casuali Futuri), molto probabilmente allo stesso modo di come si pose l’opera Cybernetics (1948) di N. Wiener (1894- 1964), la quale fu antesignana dello sviluppo della Teoria degli Automi (Reti Neurali) e della Computer-Science o Informatica
    In particolare, per le congetture, ci riferiamo alle dimostrazioni ufficiali della Congettura di Fermat (in solo sei pagine, ora caso particolare del Teorema Mirabilis di Gallo, 1993), della Congettura o Ipotesi di Riemann, in solo sette righe, ora Teorema RH-Mirabilis di Gallo, 2005 e 2010, ma dimostrata in almeno altri due modi diversi (Teorema Riemann-Gallo , mediante il suo Principio di Disidentità e l’uso della funzione psi di Gallo; Oslo, 2004; e mediante il Teorema Caratteristico di Gallo ,2010) e della Congettura di Birch & Swinnerton-Dyer ( ora Teorema BS-D-Mirabilis di Gallo del 2010, mai pubblicata fino ad oggi).
    Ma nel Codex Cervinarensis figurano anche le dimostrazioni (mai rese note e ancora indimostrate a livello ufficiale) relative alla Congettura di Goldbach e alla cosiddetta Congettura dei Primi Gemelli (anch’essa dimostrata in almeno due modi diversi, nel 1998 e nel 2004).
    Sempre nel Codex si trova anche la dimostrazione (in solo dieci righe!) del ben noto Teorema Fondamentale dell’Algebra (affrontata, com’ è noto, per l’ultima volta (la quarta!) da Gauss all’età di settant’anni, a ben cinquant’anni di distanza dalla prima, pur notevole, ma per lui insoddisfacente dimostrazione del 1799, riportata nella sua tesi di laurea.

    Nel Codex figurano anche le risoluzioni-record di due problemi ben noti.
    Il primo problema riguarda la risoluzione nella sua forma integrale (ossia non ridotta) del celebre e bi-millenario Problema dei Buoi di Archimede e della sua “versione ampliata” mediante due “addendum” di Gallo, che costituiscono una sfida infernale (ancora oggi irrisolta) per i matematici contemporanei e che sarebbe auspicabile che apparisse in uno dei tre volumi che comporranno la trilogia The Works of Archimedes, curata da Reviel Netz per i tipi della Cambridge University Press.
    E’ chiaro che senza la soluzione minima di Gallo tale trilogia rischierebbe di risultare in partenza incompleta oltre che non aggiornata, pur contenendo la soluzione del problema-tangram (calcolo combinatorio geometrico vincolato) che appare nel libello Stomachion di Archimede (in quanti modi 14 pezzi irregolari poligonali piani possono comporre un quadrato?) la cui soluzione (17 152) fu trovata dal programmatore americano Bill Cutler e in seguito (dicembre 2003) anche dai matematici californiani Persi Diaconis e sua moglie Susan Holmes ( laureata in Statistica)di Stanford e Ronald Graham e Fan Chung di San Diego.
    E’ un rischio che vale la pena correre?
    Il secondo problema risolto a livello generale da Onofrio Gallo è il ben noto Problema dei marinai e delle noci di cocco .
    Tale problema è stato risolto mediante le “formule di Gallo”, senza risolvere alcun tipo di equazione diofantea.
    Tralasciamo in questa sede. per brevità e volutamente, gli altri sbalorditivi risultati inediti ottenuti da Onofrio Gallo nel campo dei codici cifrati (Codice F di Gallo e Codice R di Gallo, molto più vantaggiosi e sicuri del Codice RSA) e il suo metodo generale di defattorizzazione di un numero altamente composto dalla fattorizzazione di due meganumeri primi, che, com’è noto, è posta a fondamento del codice RSA.
    C’è solo da chiedersi chi (stati, banche, servizi Segreti, ecc) vorrà ancora continuare a credere e a puntare sulla propria sicurezza ricorrendo al codice RSA?
    Secondo taluni, Onofrio Gallo rischia di diventare il matematico “italiano” più famoso al mondo.
    Secondo altri non è escluso che egli possa diventare addirittura, più semplicemente, “ il più famoso matematico del mondo”.
    Il che, per quanto già detto e per quanto tra poco diremo, non costituirebbe affatto un’iperbole o un’eresia come qualcuno potrebbe erroneamente credere.
    Ma c’è dell’altro.
    Qualcuno potrebbe infatti chiedersi “Esiste un ben preciso motivo in base al quale investire sul Codex Cervinarensis ?
    Secondo noi si tratterebbe di un investimento ideale in termini di futuri vantaggi economici e finanziari.
    Il motivo è presto detto, in quanto si dà il caso che lo stesso matematico cervinarese, a coronamento di una ricerca durissima, solitaria e al limite del disumano, con un’applicazione costante di oltre quarantamila ore di lavoro distribuita nell’arco di circa un ventennio, ha creato dal nulla, con la mentalità di un fisico alla Feynman (R. Feynman (1918-1988)) e su principi affini a quelli della stessa Meccanica Quantistica, la più ardita singolare originale e rivoluzionaria teoria matematica mai concepita da una singola mente umana.
    Ci riferiamo alla sua TMPECF (1980-2000 circa), acronimo che sta per “ Teoria Matematica delle Previsioni degli Eventi Casuali Futuri”, una teoria universale, nota anche come Mathemantics, secondo alcuni la “quarta” rivoluzione scientifica dei nostri tempi, dopo le Teorie della Relatività di Einstein,dopo la Meccanica Quantistica e dopo la Computer-Science.
    Solo l’esposizione e l’esemplificazione di tale teoria occupa varie migliaia di pagine nel Codex Cervinarensis.
    In tale teoria si parla di equazioni casuali di Gallo, di campi casuali modulari finiti o campi GGG mod k (dove GGG sta per “Gauss-Galois-Gallo”), , di campi casuali GGG mod k isomorfi, di campi casuali GGG mod k clonati, di dati casuali o array casuali orientati di Gallo, di numeri casuali nucleari di Gallo, di soluzioni casuali future di Gallo, “omotopiche”, ecc, di vettori numerici casuali o “generatori casuali di Gallo” e di tanti altri concetti e argomenti che adottano una terminologia e una logica operativa di tipo relativistica ( parametri casuali di Gallo, funzioni casuali di Gallo, ecc) che l’Autore è riuscito ad unificare e compendiare in un ben preciso protocollo operativo che si pone, alla luce delle conoscenze odierne, oltre la barriera dei fenomeni probabilistici (che riguardano comportamenti di “insiemi” di particelle o di eventi casuali mai singoli) come l’unico mezzo inferenziale ed autoreferenziale attualmente disponibile per risolvere il cosiddetto “Problema principe” di tutti i tempi: la previsione matematica di una o più componenti del SINGOLO evento casuale futuro E(t+1), al tempo t+1, successivo al SINGOLO evento casuale passato E(t), al tempo t immediatamente precedente.
    La verifica sperimentale della rivoluzionaria TMPECF di Onofrio Gallo è stata condotta dallo stesso autore -per oltre un ventennio- su eventi casuali futuri e i risultati ottenuti, quantificabili in vari quintali di carta formato A4!, oltre a dimostrare la non validità del Principio di equiprobabilità e del conseguente Principio d’indipendenza tra due SINGOLI eventi casuali consecutivi, ha evidenziato, per la prima volta in campo matematico, il celebre fenomeno fisico dell’éntanglement rilevato e descritto da A. Aspect e già previsto da Einstein, Podolsky e Rosen .
    Vale a dire: numeri nucleari casuali futuri di Gallo presenti in due soluzioni casuali future di Gallo distinte, ma relative allo stesso evento casuale futuro, risultano interconnesse mediante il cosiddetto éntanglement numerico casuale di Gallo mai contemplato sino ad oggi da alcuna teoria matematica sulla casualità e completamente ignoto ai matematici odierni.
    Per dare un’idea di che cosa sia la TMPECF di Gallo, si può dire, in termini elementari, che, mai come nel suo trattato Mathemantics, si manifesta “l’arte della Matematica”.
    Ma, attenzione!, non si tratta di quella decantata in una sua nota opera divulgativa dal matematico francese Jean Dieudonné, bensì di qualcosa del tutto diverso.
    Ottenere le previsioni mediante la Mathemantics di Gallo è davvero un’arte matematica, in quanto si tratta di “matematica sperimentale” di tipo universale, in quanto applicabile a qualsiasi serie di eventi casuali.
    Un esempio importante, per fissare le idee, potrebbe essere costituito dalla previsione di un evento catastrofico (terremoto, ad esempio) in determinato luogo, in una determinata data, in una determinata ora, di una determinata intensità.
    In tal caso si costruiscono opportunamente ben quattro campi finiti casuali GGG modulari di Gauss-Galois-Gallo, mediante i quali si riesce a determinare esattamente o con una minima approssimazione i parametri relativi al luogo, alla data, all’ora, all’intensità dell’evento catastrofico casuale futuro.
    Questa nuova disciplina matematica (ci riferiamo ad alcuni aspetti della F-Science trattati nel più vasto ambito della categoria dei fenomeni fisici non lineari, anche se i relativi risultati non sempre sono apparsi indicativi o esatti), già in auge da qualche lustro nei paesi più sviluppati, primo fra tutti gli USA, non è mai stata concepita dai ricercatori per la ricerca relativa alla previsione di singoli fenomeni o singoli eventi casuali futuri.
    La “singolarità” della teoria predittiva di Onofrio Gallo consiste proprio nella previsione di singoli fenomeni o singoli eventi casuali futuri.
    Si tratta ovviamente di una nuova disciplina di tipo quantitativo, che “parla” il linguaggio del caso coi numeri e che “comunica” la casualità attraverso i numeri, che non pone a suo fondamento né le probabilità e neppure le teorie qualitative risalenti a J. H. Poincaré ((1854-1912).
    Tale linguaggio numerico rivoluzionario si pone come vera e propria interfaccia tra il ricercatore e i risultati forniti dalla teoria.
    Pertanto, come si può immaginare, essa richiede una concentrazione e una capacità interpretativa al massimo livello che si acquista solo dopo un lungo esercizio di applicazione sul campo.
    Applicare la Mathemantics di Onofrio Gallo per la previsione di una o più componenti future dell’incognito vettore numerico relativo all’evento casuale futuro E(t+1), in un determinato campo previsionale, a partire dal dato e analogo E(t), è, in un certo senso, come pilotare un aereo.
    Non si può pilotare un aereo senza effettuare un addestramento mirato, senza effettuare in anticipo simulazioni di volo e, soprattutto, senza un certo numero di ore di esperienza di volo effettivo! Quanto esposto circa la Mathemantics di Gallo corrisponde a quanto constatato e verificato da noi di persona.
    Quali saranno le reazioni degli esperti quando, in futuro, la rivoluzionaria teoria del matematico cervinarese contenuta nel suo trattato Mathemantics sarà diffusa e conosciuta?
    Secondo noi, è molto plausibile che, una volta fatta incursione nella TMPECF e una volta impadronitisi della sua straordinaria metodologia, in un contesto predittivo casuale non probabilistico e non qualitativo, la teoria predittiva di Onofrio Gallo potrebbe avere su di essi un effetto a dir poco sconvolgente e stupefacente.
    Il fisico Heinz Pagels, con riferimento alla Teoria del Caos, ha scritto con una certa enfasi (come avrebbero dimostrato i fatti successivi):
    ” E’ la Scienza del XXI Secolo. I paesi che la padroneggeranno diverranno le superpotenze economiche, culturali e politiche del Duemila: controlleranno il mondo”.
    Una tale enfasi da parte di Pagels tuttavia, secondo noi, sarebbe oggi più motivata se riferita alla TMPECF, anziché, come avvenuto in passato, alla Teoria del Caos che non sembra aver dato i risultati attesi.
    Il valore della TMPECF in termini economici è enorme.
    Essa, come si può facilmente comprendere, è di gran lunga superiore a quello della Teoria del Caos che, come la Teoria delle Catastrofi o la stessa Teoria dei Frattali, o, più in generale, come qualsiasi altra teoria conosciuta, non si pone affatto come una teoria predittiva relativa ai “singoli” eventi casuali futuri.
    A questo punto che dire dei dubbi sollevati da taluni sull’esistenza o mena dell’opera del “ fantastico, misterioso e invisibile” matematico Onofrio Gallo?
    Possiamo affermare che tali dubbi non hanno ragione di esistere e che essi un giorno potrebbero apparire se non altro come pure e semplici illazioni (lecite, ma solo fino ad un certo punto)da parte di pochissimi curiosi.
    Se non del tutto ridicole, alla luce di quanto ora esposto ed evidenziato.
    La cosa più sorprendente da parte di qualcuno sarebbe, anche al giorno d’oggi, mettere in dubbio la grandezza dell’opera o l’esistenza stessa del geniale matematico cervinarese (come pure si è verificato in qualche caso!).
    Il che non potrebbe essere giustificato neppure in virtù dell’invisibilità e/o della mancata diffusione e pubblicazione del Codex Cervinarensis.
    Solo un diabolico ed assurdo autoconvincimento a questo punto potrebbe indurre qualcuno a credere che sia ancora oggi possibile dubitare degli eccezionali risultati già diffusi sul WEB e che costituiscono, per quanto detto, solo la punta dell’iceberg di quanto contenuto nel Codex Cervinarensis.
    Ma, ci chiediamo e vi chiediamo, tali dubbi potrebbero mai sminuire o vanificare o scalfire il valore e l’originalità dell’opera del matematico cervinarese?
    O limitare in qualche modo l’interesse degli esperti futuri o dei futuri internauti, se un giorno qualcuno provvedesse alla pubblicazione e alla diffusione dell’opera del matemagico Onofrio Gallo?
    Non è forse un fatto certo e indubitabile che i suoi principi, le sue teorie, i suoi teoremi, le sue formule hanno già cominciato a rivoluzionare un certo tipo di matematica?
    I dubbiosi e gli scettici ad oltranza di turno sarebbero disposti, essi, alla luce di quanto esposto, a muoversi ancora tra il grottesco e il disperato in ambito diofanteo tenendo ancora al bando (in Italia) principi, teorie, teoremi e formule di Gallo?
    Se lo facessero, non passerebbe molto tempo prima che essi prendessero coscienza del totale fallimento di un certo modo di fare e di insegnare la Matematica, per esempio, tanto per restare in ambito matematico.
    O insisterebbero ancora in una serie di argomentazioni pseudo-oggettive e deboli perfino sul piano della logica ordinaria?
    Insisterebbero essi ancora pervicacemente in una serie di arabeschi vuoti e illogici corroborati da proposte di sviluppi monotematici e contenutistici arcaici e pazzeschi?
    O si renderebbero subito conto che risulterebbe indispensabile prospettare ai nuovi discenti dell’immediato futuro la nuova visione della matematica straordinaria racchiusa nell’opera del matematico cervinarese?
    Riuscirebbero essi ad includere nelle loro programmazioni i nuovi linguaggi associati alla nuova logica che sta alla base dell’opera matematica innovativa e rivoluzionaria del matematico cervinarese, ridimensionando una volta per tutte, taluni linguaggi e taluni capitoli, ormai vuoti e improduttivi, specie nel campo della matematica diofantea e casuale?
    Soprattutto in vista delle possibili applicazioni alla risoluzione di problemi sempre più complessi sia teorici che pratici che sfociano sempre più naturalmente e frequentemente nel vasto e incognito oceano della complessità.
    Un oceano nel quale, ancora oggi, nonostante gli immensi sforzi economici delle nazioni più avanzate e quelli messi in campo dai migliori cervelli, non si sa ancora come navigare “a motore”. Solcando ancora tale oceano seguendo rotte approssimative indicate dagli astri euclidei e navigando in mare aperto, anche agli inizi del XXI secolo, con l’ausilio delle vetuste e antiche omeriche vele su cui è inciso ormai da circa quattro secoli il solito linguaggio statistico-probabilistico.
    Ergo, ne consegue che l’eventuale nascita in Italia, paese per eccellenza di santi, navigatori, poeti e matematici, di una corrente o scuola di pensiero nuova e paradigmatica nell’ambito della matematica del Caso fondata sulla Mathemantics di Onofrio Gallo potrebbe costituire un punto di eccellenza non solo all’interno del panorama matematico italiano ed europeo, ma mondiale.
    Dopo un simile exploit, la matematica italiana non sarebbe attesa dalla solita lapide anonima e diroccata in un cimitero qualsiasi dove aleggerebbero le funeree note di una triste musica enigmatica generata da uno stuolo di arpe celtiche, ma è molto verosimile che essa conquisterebbe in un battito d’ali la ribalta in ambito internazionale, balzando sulle vette della ricerca nel campo dei fenomeni casuali e in quelli della complessità.
    Solo in tal modo la matematica italiana potrebbe lasciarsi per sempre alle spalle i giudizi e i pregiudizi non sempre del tutto lusinghieri di cui godono attualmente in the world gli italici eredi di Archimede.
    Anche se, sinceramente, siamo orientati a credere che in Italia sarà difficile, per non dire impossibile, allo stato delle cose, che ( a livello pubblico o privato) possa esserci qualcuno disposto a sostenere un simile sforzo e scommettere su una rivoluzione di tale portata del pensiero umano.
    Il fatto è che questa volta non fuggirebbe solo un cervello all’estero, ma un’ intera opera rivoluzionaria che, se restasse in Italia, molte nazioni sicuramente c’invidierebbero, se già non lo fanno.
    Che sia la Cina, ancora una volta, l’outsider di turno?
    In tal caso davvero essa dominerebbe il mondo. Occidente avvisato…
    News a cura di Umberto Esposito

  41. DALLA TEORIA DEGLI INVARIANTI ASSOLUTI ALLA TEORIA DEGLI INVARIANTI RELATIVI DI GALLO (TEOREMA Z-MIRABILIS DI GALLO).
    Ad ogni buon matematico dovrebbe risultare familiare la classica Teoria degli Invarianti, intravista da G. Boole (1815-1864), non chiarita a fondo da F.G.M.Eisenstein (1823-1852), sviluppata in modo eccellente da A.Cayley(1821-1895) e da J.J. Sylvester (1814-1897) e dai vari G.F.B. Riemann (1826-1866), E.B. Christoffel (1829-1900), S. Lie (1842-1899), G. Ricci Curbastro (1853-1925), e dal suo allievo T. Levi-Civita (1873-1941), e dallo stesso A. Einstein (1879-1955) nella sua Relatività Ristretta(1905). Com’è noto in tale teoria l’invarianza di talune leggi fisiche relative ad un fenomeno fisico F rispetto a due sistemi di rferimenti R1 ed R2 dello spazio tempo è legata a certe trasformazioni e alle relative descrizioni che di F danno due osservatori O1 e O2 rispettivamente solidali con R1 e con R2. Se tali descrizioni di F sono coincidenti sia per O1 che per O2, allora le corrispondenti leggi fisiche di F sono “invarianti”, ossia hanno la stessa forma matematica sia in R1 che in R2; in caso contrario tali leggi fisiche sono “covarianti” ossia non hanno la stessa forma matematica.Se le leggi fisiche relative ad F sono invarianti si dice anche che esse sono indipendenti dal particolare riferimento spazio-temporale prescelto, per cui alla fine F dev’essere espresso nella stessa “forma matematica” da tutti gli osservatori.Il substrato matematico che consente di ottenere delle forme matematiche invarianti ( in genere a meno di un fattore specifico particolare) è costituito proprio dalla classica Teoria degli Invarianti (che qui definiamo) “Assoluta” o “ Globale”, che, per brevità indicheremo con l’acronimo TIA, per distinguerla dalla Teoria degli Invarianti “Relativa” o “Locale” di Gallo o TIR. Ma se la TIA fu adoperata con successo dallo stesso Einstein nella sua Teoria della Relatività Ristretta nel 1905, occorre notare che fino al 1989 ( nascita della Teoria delle Trsformazioni di un Identità in Equazione o TTIE di Gallo) non esistevano le premesse che avrebbero condotto al teorema fondamentale della TIR di Gallo, che riguarda l’invarianza “locale” di particolari enti o forme matematiche mai prese in considerazioni da tale punto di vista dai suoi predecessori come pure dai suoi contemporanei (come l’invarianza di parti di una funzione o le parti degli zeri complessi non banali di una funzione complessa, come la funzione “psi” di Gallo nell’ambito della Teoria dei Numeri Primi Armonici di Gallo o come la stessa funzione zeta di Riemann nell’ambito della celebre Ipotesi di Riemann, ormai diventata Teorema RH-Mirabilis di Gallo, che, non per nulla, è un caso particolare del Teorema Z-Mirabilis di Gallo). E’ certamente un’anomalia, che, per quanto ci risulta, non è mai stata sottolineata dai predecessori del mathematicus mirabilis, il fatto che sia stata scoperta prima la TIA e solo dopo almeno un secolo e mezzo la TIR di Onofrio Gallo ( nascita ufficiale Ottobre 1991), tenuto conto che nel campo della regina delle scienze (la Matematica) si procede quasi sempre per induzione, ossia dal particolare (relativo) al generale (assoluto). Se nell’ ambito delle scienze fisiche troviamo l’“invarianza locale” come “invarianza di gauge locale” postulata a partire da proprietà di simmetria globale, se in passato in ambito matematico mediante un opportuno criterio di invarianza locale si possono calcolare i gruppi di simmetria di un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali collegate alle simmetrie di Lie di equazioni di evoluzione, occorre osservare che, sempre in matematica, in passato non fu sufficiente riconoscere l’importanza delle “formule simmetriche” (o delle “forme simmetriche”) e saperle manipolare come fece lo stesso Riemann che, a fondamento della definizione di una funzione analitica di una variabile complessa, pose le cosiddette “equazioni di Riemann”, in realtà già stabilite in precedenza da J. Le Rond d’Alembert (1717-1783), mediante le quali egli tuttavia non avrebbe mai potuto dimostrare – e di ciò dovette “convincersi” quasi subito dopo vari tentativi in tal senso- la sua celebre Ipotesi formulata unicamente in base al calcolo dei primi zeri della sua funzione zeta.Il che, nelle intenzioni di Riemann, sarebbe stato necessario per porre le basi di una teoria generale delle funzioni introducendo la variabile complessa in modo che tutte le proprietà di tali funzioni potessero discendere (mediante semplici calcoli) da un ristretto numero di semplici principi generali. Che cosa occorreva, dunque, per riconoscere o stabilire delle verità “parziali” o “locali” relative ad una data funzione di variabile complessa o, in alternativa, relativa agli zeri complessi non banali di una siffatta funzione, come, ad esempio, nel caso della sua funzione zeta? Riemann non riuscì mai a risolvere tale problema, prova ne è il fatto che egli, relativamente, alla sua celebre Ipotesi sugli zeri complessi non banali della sua funzione zeta, quasi a porre una pietra tombale sull’intera questione, scrisse:
    “Sarebbe auspicabile, indubbiamente, che si disponesse di una dimostrazione di tale asserto. Tuttavia ho messo da parte tale ricerca per il momento dopo qualche infruttuoso tentativo, poiché essa mi appare superflua per gli scopi immediati del mio studio” (G.F.B. Riemann, 1859).
    Per risolvere tale problema (e quindi per dimostrare a livello generale l’Ipotesi di Riemann che, si ricorda qui per inciso, tra gli altri, né il matematico inglese J. E. Littlewood (1885-1977), né il matematico norvegese Atle Selberg (1917-2007) ritenevano fosse valida) occorrevano altri due profondi e fecondi principi che sarebbero emersi attraverso le ricerche sulla risoluzione generale di un altro fondamentale problema collegato in modo inaspettato al precedente.Vale a dire il problema di come trasformare un’identità in un’equazione.Un problema risolto per la prima volta dal matematico italiano Onofrio Gallo ( n. 1946 a Cervinara, Valle Cudina) tra mercoledi 19 e giovedi 20 luglio del 1989, allorchè il matematico cervinarese trasformò (mediante la cosiddetta trasformazione fondamentale di Gallo) l’identità di primo grado del tipo 2x- (a11 + z)=0 (in ambito casuale con riferimento alle strutture G3 casuali finite simmetriche kroneckeriane di ordine 3, con x=a13, z=a33 elementi casuali futuri incogniti relativi all’evento casuale futuro E(t+1) ed a11 elemento casuale noto relativo all’evento casuale noto E(t)), nell’equazione casuale di secondo grado x^2 –a11z=k^2 essendo k= x-a11 la costante casuale futura della struttura G3 considerata. I principi che hanno consentito tale “miracolo” e che si trovano alla base della TTIE dello stesso Gallo, com’è noto, sono il Principio di Disidentità di Gallo e il suo Secondo Principio Generale della Conoscenza. Si tratta degli stessi principi che hanno condotto a stabilire il teorema fondamentale della TIR di Gallo, rappresentato dal Teorema Z-Mirabilis di Gallo, in base al quale il “mathematicus mirabilis” ha ottenuto dimostrazioni “meravigliose” su varie ipotesi ( Ipotesi di Riemann ora Teorema RH-Mirabilis di Gallo, in sette righe), congetture ( di Fermat o Ultimo Teorema di Fermat ora caso particolare del Teorema Mirabilis di Gallo, in sei pagine; Congettura di Birch & Swinnerton-Dyer ora Teorema B&S-D Mirabilis di Gallo, in una pagina) e teoremi, come, ad esempio, nel caso del Teorema Fondamenatle dell’Algebra, ora TFA-Mirabilis di Gallo, in dieci righe, una “demonstratio mirabilis” geniale e sintetica di tipo esclusivamente algebrica invano cercata dal grande genio di K.F. Gauss che, nel corso della sua vita, ritornò almeno quattro volte sull’argomento dandone altrettante dimostrazioni non sempre semplici e sviluppate in modo ineccepibile, salvo l’ultima a distanza di ben cinquant’anni dalla prima (incompleta per certi versi). Questa introduzione sulla “ricognizione” relativa alla classica TIA e alla TIR di Gallo può essere conclusa affermando che, così come la TIA è alla base della teoria einsteiniana della Realtività Ristretta e di altri risultati matematici, come la nascita della Teoria delle matrici ad opera di Cayley (che in Fisica è alla base della Teoria delle Matrici di Heisenberg- Majorana e, in particolare, del celebre Principio d’Indeterminazione di Heisenberg), allo stesso modo possiamo concludere che la TIR di Gallo, oltre a costituire il fondamento dello studio della funzione “psi” di Gallo nella teoria dei Numeri Primi armonici di Gallo e della funzione “zeta” di Riemann, è alla base delle dimostrazioni ad opera di Onofrio Gallo, non solo delle ipotesi, congetture e teoremi sopra menzionati, ma anche della nascita – per la prima volta nella Storia delle Matematiche- dell’Algebra Iperbolica o Mirabilis di Gallo, la prima “Algebra non euclidea”, corrispondente, tanto per intenderci, in campo algebrico, alla Geometria Iperbolica fondata dal trio Gauss, Bolyay e Lobatchevskij che si trova nel Codex Cervinarensis, in base alla quale si dimostra immediatamente –per via esclusivamente algebrica- il Teorema di Esistenza di uno zero complesso di una funzione complessa di grado n a coefficienti reali o complessi; teorema spesso confuso con il TFA e del quale costituisce la premessa indispensabile. Nella TIR di Gallo non è certamente col metodo di Cauchy o col metodo di Kronecker col suo celebre detto “ Dio creò i numeri interi, il resto è opera dell’Uomo” che il matematico cervinarese “mette da parte” deliberatamente l’unità immaginaria “i” presente nella “forma” degli zeri complessi non banali z=x+iy di una data funzione di una variabile complessa F(z) (come, ad esempio, la “zeta” di Riemann o la “psi” di Gallo), ma è il Principio di Disdentità di Gallo che trasforma la stessa “i” ( processo di “funzionalizzazione della “i” “ , mai effettuato da alcun matematico del passato o contemporaneo di Onofrio Gallo) in una funzione complessa generale di simmetria di Gallo G(z) che, associata alla condizione di simmetria di Gallo da imporre non appena siano note le “forme” (non i valori, come pensava lo stesso Riemann) di due zeri complessi non banali di F(z)=0 conduce immediatamente a determinare l’”invarianza locale” (se esiste) di tutti gli zeri non banali della F(z)=0. Spieghiamo agli scettici ai dubbiosi e a coloro che ancora oggi non si sono ben resi conto “perché” l’Ipoetsi di Riemann è diventata per sempre il Teorema RH-Mirabilis di Gallo (caso particolare del Teorema Z-Mirabilis di Gallo che è alla base della TIR di Gallo). Per il che è sufficiente dimostrare per quale motivo fondamentale Riemann (come qualsiasi matematico del passato anche recente o recentissimo), non avrebbe mai potuto dimostrare la sua celebre Ipotesi. Osserviamo subito a tal proposito che, mentre le “simmetrie” stabilite da Riemann con le sue “equazioni” (∂u/∂x= ∂v/∂y ∂u/∂y=∂v/∂x) sono “simmetrie operative” che partono da un numero complesso z=x+iy nell’ipotesi che sia assegnata w= u+iv come funzione analitica di z; al contrario, le “simmetrie” considerate da Onofrio Gallo, le quali in ultima analisi costituiscono un’applicazione della TIR di Gallo, sono da un lato di tipo “strutturale” nel caso della “costruzione” della funzione complessa generale di simmetria di Gallo G(z) associata al generico zero complesso non banale z di una funzione complessa F(z) assegnata e, dall’altro lato, sono “simmetrie” che, pur relative al gruppo degli automorfismi della data F(z)=0 non fanno intervenire l’equazione F(z)=0, ma solo le “forme” ( e non i “valori”) di (almeno) due zeri complessi non banali di F(z). Per chi continuasse a non comprendere la sbalorditiva e geniale dimostrazione dell’Ipotesi di Riemann, in solo sette righe, fornita dal matematico cervinarese, aggiungiamo che, mentre, da un lato, il Teorema Mirabilis di Gallo nel caso della Congettura di Fermat (o Ultimo Teorema di Fermat) parte dalla “testa” , ossia dall’equazione diofantea di Fermat (F) x^n +y^n =z^2 (caso n>2), per costruire le funzioni generali di simmetria di grado n relative appunto alla (F), senza conoscere a priori alcuna soluzione diofantea della (F) (il che per n>2 sarebbe stato “impossibile”), ma in ogni caso imponendo la condizione di simmetria di Gallo relativa al gruppo di simmetria o se si vuole al gruppo di Gallo della (F) (pur senza considerare direttamente tale gruppo, la cui “costruzione” del resto risulta inessenziale per dimostrare la Congettura di Fermat); dall’altro lato, nel caso dell’Ipotesi di Riemann, il Teorema RH-Mirabilis (caso particolare del più generale Teorema Z-Mirabilis di Gallo) parte dalla “coda”, ossia dalla conoscenza (si badi bene, lo ripetiamo, non dei valori, come fece Riemann con la sua formula “segreta”, in seguito ricostruita da C.L.Siegel (1896-1981), e perciò detta “formula di Riemann-Siegel”, ma) della sola “forma” di due zeri complessi coniugati, come s ed 1-s, della funzione zeta di Riemann, per dimostrare una volta per tutte l’invarianza “locale” degli zeri di Riemannn, ossia della sola parte reale Re(z)=x di “tutti” gli zeri di Riemann complessi non banali z=x+iy della funzione zeta di Riemann. E’ la “doppia simmetria” presente nel Teorema RH-Mirabilis di Gallo che, in definitiva, conduce banalmente a dimostrare che Re(z)=x=1/2 è un “invariante locale” per qualsiasi zero non banale z=x+iy della funzione zeta di Riemann, ancora una volta prescindendo dalla considerazione diretta del gruppo degli automorfismi relativo agli zeri complessi non banali della funzione zeta di Riemann. Allo stesso modo, è possibile dimostrare mediante il Teorema Z-Mirabilis di Gallo, nell’ambito della Teoria dei Numeri Primi Armonici di Gallo, relativamente agli zeri complessi non banali di Gallo della funzione “psi” di Gallo, l’invarianza “locale” della parte reale Re(h)=Re(k) =x per “tutti” gli zeri di Gallo della sua funzione “psi”, che sono rappresentati dai “numeri armonici (complessi) di Gallo” h= x-iy e k =x+iy per i quali dev’essere x=1 (in caso contrario non sarebbe valido il Teorema Fondamentale di Fermat (1640), secondo il quale un primo del tipo 4n+1 è esprimibile in unico modo come somma di due quadrati) ed y = (p-1)^1/2 essendo p un numero primo. La dimostrazione dell’invarianza locale degli zeri di Gallo relativi alla sua funzione “psi” era stata dimostrata sin verso la metà degli anni ’90 del Sec. XX da Onofrio Gallo sulla base del Teorema Fondamentale di Fermat; per cui egli si convinse che doveva esistere un teorema che, mediante una doppia simmetria, avrebbe consentito di ri-dimostrare l’invarianza locale non solo della parte reale della sua funzione “psi”, ma anche di qualsiasi altra funzione di una variabile complessa i cui zeri complessi non banali presentassero analoghe caratteristiche. Cosa che lo stesso matematico cervinarese riuscì a dimostrare facilmente anche per la funzione zeta di Riemann, come abbiamo illustrato in precedenza, non appena ebbe creato il fondamentale Teorema Z-Mirabilis di Gallo. News e sintesi di un colloquio sulla TIR di Gallo a cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.

  42. TEORIA NON CLASSICA – IL PROBLEMA DEI NUMERI AREA-CONGRUI (PAC) E LE CURVE ELLITTICHE
    Non siamo autorizzati a riportare in questa sede per intero il Teorema B&S-D Mirabilis di Gallo, in altri termini la dimostrazione della ex- Congettura di Birch& Swinnerton Dyer, ci limitiamo pertanto a presentare, da un lato, l’introduzione che il suo autore antepone a tale dimostrazione, che è la seguente:
    “Se da un lato la risoluzione della (En) y^2=x^3- x n^2 ci riporta nell’ambito della teoria delle equazioni diofantee a cui fa capo l’Ultimo Teorema di Fermat (la cui equazione è la
    (F) x^n+ y^n=z^n ( per n>2)) , nel contempo, la stessa (En) ci riporta nell’area dell’Ipotesi di Riemann (dal 14 aprile 2010 diventata, per la prima volta dopo 150 anni, il Teorema RH-Mirabilis di Gallo, in cui il matematico italiano Onofrio Gallo (n. 13 Maggio 1946 a Cervinara, Valle Caudina) dimostra, in solo sette righe, che ogni zero non banale s della funzione zeta di Riemann ha la sua parte reale (Re(s)=1/2) che giace sulla retta reale x=1/2 (o retta critica di Riemann), e, tramite il più generale Teorema Zeta-Mirabilis di Gallo, è possibile determinare la parte reale delle cosiddette L-funzioni di Dirichlet , estese al campo dei numeri complessi.
    In questo caso sappiamo che sussiste il Teorema di Wiles e Taylor (1995) “ L(E,s) può essere estesa ad una funzione differenziabile su tutto il piano complesso”.
    In questa sede la cosiddetta “Ipotesi di Riemann per L(E,s) “, secondo cui
    “Gli zeri non banali di L(E,s) si trovano sulla retta critica Re(s)=1” si può dimostrare facilmente a partire dal Teorema Zeta-Mirabilis di Gallo , del quale il Teorema RH-Mirabilis di Gallo( ex-Ipotesi di Riemann relativa alla funzione zeta di Riemann) è un caso particolare.
    Basta considerare……”
    e, dall’altro lato, essendoci consentito, riportiamo qui di seguito, per gentile concessione dell’Autore, alcuni risultati ottenuti in tale campo dal matematico italiano Onofrio Gallo (n.1946 a Cervinara, Valle Caudina) che hanno preceduto una delle due dimostrazioni, quella del 24 Aprile 2010, del suo Teorema B&S-D Mirabilis di Gallo ( ex- Congettura di Birch& Swinnerton Dyer) . La trattazione seguente – che non fa uso della Geometria Algebrica- di tale argomento si trova nel poderoso Tractatus Mirabilis ( circa 1000 pagine) del matematico cervinarese, anch’esso contenuto nel suo Codex Cervinarensis (Sezione Algebra eAnalisi Diofantea). Per un approfondimento sui numeri area -congrui si veda il link “numeri area-congrui di Gallo”.
    EQUIVALENZA TRA IL PAC E LA CURVA ELLITTICA (En) y^2=x^3- x n^2
    Dal problema di area-congruo (PAC) A^2 +B^2 =C^2 e AB/2=n con n intero poositivo ed A<B4) sia un numero area-congruo e la curva ellittica (En) y^2=x^3- x n^2 ammetta soluzioni razionali, è che x sia soluzione razionale della risolvente biquadratica di Gallo:
    (RBG) 2Hx^4 –H(nx)^2 –K =0 con K/H= (n^4 +4xy^2)^1/2”

    DIM.: La (En) y^2=x^3- x n^2 , con X = x^(1/2), si può porre nella forma quadratica
    (FQ1) x^2 –(y/X)^2=n^2, alla quale resta associata la forma quadratica (coniugata di Gallo)
    (FQ2) x^2 +(y/X)^2= (n^4 + 4xy^2)^(1/2), con K2=((n^4 + 4xy^2)^4 -1)^3 ( (n^4 + 4xy^2) -1) e con H2= ((K^2-1)/ (n^4 + 4xy^2))^(1/2).
    Dal sistema (FQi) ( i=1,2) segue x^4 –(y^4/x^2)=(K/H)n^2, che, associata alla (En), fornisce la (RBG).

    Osservazione 1. Conseguenza del Teorema C1 di Gallo è che xG=(K2/2H2)^1/s ( s intero positivo) appartiene ad un intorno W di x
    Verifichiamo quanto detto nei casi n=5, 6
    Per n=5 si ha xG=(K2/2H2)^1/s = 10, 118 591 51 che si trova nell’intorno W di
    x=11, 673 611 11 8 , soluzione della (E5) y^2=x^3- 25 x ; per n=6 ed s=2 si ha xG=(K2/2H2)^1/s = 4. 589 389 938 che si trova nell’intorno W di x=6,25 , soluzione della (E6) y^2=x^3- 36 x

    Osservazione 2. Le espressioni di H2 e K2 in funzione di x,y ( e di n) rappresentano le soluzioni di Gallo di grado 2 delle equazioni k-diofantee funzionali di Gallo del tipo (EkFG) ( K^k- f(x,y)H^k =c (con x, y razionali e c intero positivo).

    In generale la forma delle soluzioni di Gallo delle (EkFG) è rappresentata dalle soluzioni generali di Gallo K= ((f(x,y)^(2r+1) )( f(x.y) -1) ; H= (( K^2 -1)/ f(x,y) )^(1/2), con K/H= (f(x,y)^(1/k), essendo f(x,y) una funzione razionale di x,y , anch’essi razionali e co r intero positivo opportuno.

    Ad esempio per n=5, la minima soluzione di Gallo razionale K/H che fornisce il valore esatto di
    f(x,y) )^(1/2) =(n^4 + 4xy^2))^(1/2) si ottiene per K=9. 295 643 663x10exp11 e per H= 3 755 111 743, per cui risulta K/H= f(x,y) )^(1/2) =(n^4 + 4xy^2))^(1/2) = 247, 546 392 7 (per r=4), risultando x=11, 673 611 11 8 ed y= -36, 041 087 96

    Per n=6 usando le H2,K2 , otteniamo K2/H2= f(x,y) )^(1/2) =(n^4 + 4xy^2))^(1/2)=3. 069 852 088x10exp45 /7, 287 482 701x10exp43 =42,125, essendo x=6, 25 ed y= -4. 375.

    TEOREMA C2 DI GALLO
    “ Se (En) y^2=x^3- x n^2 è una curva ellittica, allora n è un numero area-congruo, se e solo se, risulta verificata la relazione di Gallo (RG) y/X= -│( (n^2-(n^4+4xy^2)^(1/2))/2│^ (1/2), con X = x^(1/2), per cui la (En) risulta equivalente alla sua coniugata di Gallo (FQ2) x^2 +(y/X)^2= (n^4 + 4xy^2)^(1/2)”

    In tal caso x,y sono soluzioni razionali sia di (En) che di (FQ2).

    TEOREMA C3 D GALLO
    “ La soluzione razionale x della (En) y^2=x^3- x n^2 è tale che risulta vera la limitazione di Gallo
    (LG) xG <x< ΔG, essendo xG e ΔG, rispettivamente, la soluzione maggiore e il discriminante della risolvente bi-quadratica non standard di Gallo (RBNSG) (1-4n^2)x^4 –(1-4n^4)x^2 –(n^6 –n^4) =0 “
    Osservazione. La (RBNSG) è non standard in quanto essa si ottiene dal sistema formato dalla (FQ1) e dalla (F’Q2) x^2 +(y/X)^2= n^4 + 4xy^2

    Per n=5 risultano xG=3, 925 145 09 e ΔG= 15, 41 449 27 per cui 3, 925 145 09 < x= 11, 673 611 11 8 < 15, 41 449 27
    Per n=6 risultano xG=4, 435 503 883 e ΔG= 19, 673 496 7 per cui 4, 435 503 883< x=6, 25 < 19, 673 496 7.

    TEOREMA C4n-MIRABILIS DI GALLO
    “ Condizione necessaria e sufficiente, affinchè n sia un numero area-congruo, è che :
    1)risulti soddisfatta la (En,G) x^2 +Gx +(G^2 –n^2)=0 con G soluzione razionale della (En) y^2=x^3- x n^2
    2) risulti soddisfatta la condizione di simmetria (CSG) F(w1)= -F(w2) del Teorema Mirabilis di Gallo con F(w)= 2w+G, essendo w1 e w2 le soluzioni complesse coniugate comuni alla (En) e alla (En, G)”.

    DIM.: Se G=x1 è la soluzione razionale della (En), la (En) equivale alla (En,G) per cui la (CSG) è soddisfatta se, e solo se, le w1 e w2 sono le altre due soluzioni complesse coniugate comuni alla (En) ed alla (En,G). Si ha infatti che la (En) equivale alla (x-x1)( x^2 +x1x +(x1^2 –n^2)=0.

    TEOREMA C5-PTB DI GALLO
    “ Nella (En) sia y=0 e si ponga (1) x= x+iy, allora la (En) si scrive come
    (ECn) (x+iy)^3 –n^2(x+iy)=0 da cui si ottengono le equazioni coniugate di Gallo non standard
    (ReG) x^2-3xy^2 –n^2=0
    (ImG) y^2-3yx^2 +n^2=0
    Essendo la derivata parziale seconda rispetto ad x e rispetto ad y di (ReG) uguale a 6y e l’anaolga rispetto ad y e rispetto ad x di (ImG) uguale a -6x, ne segue che la condizione di simmetria di Gallo (CSG) tra tali due derivate parziali seconde è data dalla uguaglianza 6y=-(-6x) da cui (2) x = y.
    Se vale la (2), allora la (EEn) x^2- x – n^2 =0 fornisce le due soluzioni di Gallo xG1, xG2 tali che (2) xG1 + xG2=1 e che, per un opportuno valore k intero positivo, se xG1 è la soluzione positiva, risulta che:
    (3) “kxG1 appartiene ad un intorno W di x, essendo x la soluzione di (En) y^2=x^3- x n^2 , con x, y razionali non nulli”

    Esempi
    Caso n=5 la (EEn) fornisce le due soluzioni xG1=5, 524 937 811 (positiva) e xG2= – 4, 524 937 811 “a somma unitaria” e tali che kxG1= 11, 049 875 62 , per k=2, si trova nell’intorno W di x=11, 673 611 11 8, a distanza (in valore assoluto) 0, 623 735 49 .
    Caso n=6 la (EEn) fornisce le due soluzioni xG1=6, 520 797 289 (positiva) e xG2= – 5, 520 797 289 “a somma unitaria” e tali che kxG1= 6, 520 797 289 , per k=1, si trova nell’intorno W di x=6, 25, a distanza (in valore assoluto) 0, 270 797 289.
    Caso n=14 la (EEn) fornisce le due soluzioni xG1=14, 598 925 73 (positiva) e xG2= – 13, 598 925 73 “a somma unitaria” e tali che kxG1= 29, 017 851 45, per k=2, si trova nell’intorno W di x=29, 340 277 78 a distanza (in valore assoluto) 0, 322 426 327.

    Osservazione Per 0=1 (Principio di Disidentità di Gallo) nella (En) otteniamo la (En/1) x^3- x n^2 -y^2 =1, che, per y^2 = -1, ci dà le proiezioni di Gallo nel punto 0 del primo e del secondo membro di x^3- x n^2 +1=y^2 +1 ossia, essendo per ipotesi 1=0, le due equazioni di proiezione di Gallo:
    x^3- x n^2 +1=0=1 ossia (P1G) x^3- x n^2 =0 e y^2 +1=0=1 ossia (P2G) y^2=0 da cui x1=0 ed x2,3=± n e y1=y2=0 , per cui otteniamo le tre soluzioni banali (x1,y1)=(0. 0); (x2, y2)=( -5, 0) e (x3, y3)=( +5, 0) della (En) y^2=x^3- x n^2.

    TEOREMA C6-MCS DI GALLO
    “ La curva ellittica (En) y^2=x^3- x n^2 ammette n come numero aea-congruo se, e solo se, esistono due fattori k1 e k2 razionali positivi (o costanti semidiofantee di Gallo) tali che risulti
    (y/n)^2 = (k1+k2)/2 “
    DM.: Nell’ ipotesi che sia y^2=x^3- x n^2 , con n intero positivo, si possono sempre trovare le costanti semidiofantee di Gallo k1 e k2 (razionali positivi), tali che (1) y^2-x^2= k1n^2 ; (2) y^2+x^2= k2n^2. Dalle (1) e (2), sommando membro a membro, segue la tesi.

    Nel caso n=5 si ha k1= 46, 507 473 01; k2= 16, 829 185 8, esssendo ) y^2-x^2= 1 162, 686 825 =25 k1 ; (2) y^2+x^2= 420, 729 644 9 = 25 k2.

    N 2.3.1 FORMULE DI GALLO RELATIVE ALLA CURVA ELLITTICA
    (En) y^2=x^3- x n^2

    FORMULE DI GALLO (t, y)
    x^3 = (y^2 + n^2 +t n^2)/( 1+n^2)
    x = (1- y^2 +t )/( 1+n^2)
    con t = x^3 + x -1
    Basta applicare la (FG.1) di Gallo all’equazione (En) x^3- x n^2 =y^2

    FORMULE DI GALLO (t, t’)
    X=(2n^2 +t+ 2t’n^2)/ 2(1+n^2)
    Y=(1 –t+ 2t’)/ 2(1+n^2)
    Z= (-1-t)/2

    Che si ottengono dalla (En) scritta nella forma x^3- x n^2 -y^2=0 con le posizioni:
    X=x^3 ; Y=x; Z=-y^2 ed utilizzando le formule di Gallo del II tipo ( c=1).
    Esempio
    Caso n=5
    Per t=t5= 2 596, 920 043 e t’=t’5= 1601, 493 91 si hanno i valori X=(11, 673 611 11)^3=1590, 800 299 ; Y=x=11, 673 611 11; Z= 36. 041 087 96.
    Per n=6, t=t6= 37, 281 25 e t’=t’6= 249, 404 513 9; mentre per n=7, t=t7= 207, 219 399 8 e t’=t’7= 497, 446 505 4, in corrispondenza dei quali si ottengono le soluzioni razionali delle corrispondenti (En).

    News a cura di Umberto Esposito

  43. I NUOVI PRINCIPI UNIVERSALI DI GALLO
    Premessa di U. Esposito
    Una lezione di stile.
    Il messaggio racchiuso nel breve passo dell’Introduzione alla trilogia del matematico Onofrio Gallo, ma in questo caso come non definirlo “filosofo”?, e che riportiamo più avanti per gentile concessione dell’Autore, mi ha suggerito qualche considerazione che alla fine diventa anche un suggerimento politico per i politici nostrani che si sono rivelati non solo insensibili ma direi anche, a ben guardare, incapaci di vedere quello che non vogliono vedere ad ogni costo!
    Occorre dunque, secondo la filosofia armonica di Gallo, fare pulizia di certi modi di pensare e di certi comportamenti asociali da parte dei governanti, spezzando quanto prima interconnessioni di stile mafioso tra politica, lobbies e istituzioni, in Russia come in Italia, in USA come in Germania e altrove, spazzando via falsi miti illusori del consumismo, della ricchezza ostentata, degli interessi personali in campo pubblico e di una seria politica riformista da porre alla base della “nuova società” ri-organizzata e ri-moralizzata, liberata dal “puttanesimo” e dalla corruzione dilagante ad ogni livello, abbattendo definitivamente le barriere tra ricchi e poveri, tra paesi ricchi e paesi poveri ; restaurando i valori fino ad oggi negati alle minoranze e ai poveri, calpestati dai gruppi di potere in modo belluino e disumano, ripristinando i valori dell’istituzione familiare, il senso di coerente appartenenza allo Stato, al Mondo e alle nuove inderogabili necessarie per realizzare la “repubblica” dell’Umanità, nella quale deve regnare l’onestà, l’impegno, la collaborazione e la distribuzione equa delle risorse e delle ricchezze sia a livello locale sia a livello globale, attenuando e correggendo i disvalori prodotti dalle ideologie imperanti fino ad oggi e che hanno condotto i nostri sogni e le nostre speranze sull’orlo dell’abisso.
    La diminuzione delle tasse in questo tempo di crisi è possibile solo se si eliminano spese inutili e solo se si attua una politica attiva e fattiva, impegnando i disoccupati, i carcerati e i diseredati in occupazioni settoriali produttive (ad esempio in agricoltura) in grado di creare autonomia dalla continua assistenza statale e porre le basi per un sicuro avvenire dove il welfare non sia un gioco aleatorio e un diritto che si trasforma all’improvviso in pura illusione.
    Non serve costruire carceri: si tratta di una convinzione errata inutile controproducente e pericolosa.
    E’ sufficiente responsabilizzare e consorziare i vari istituti di pena, assegnando a ciascun consorzio un tot numero di ettari di terreno “di pubblica utilità” in cui sviluppare, con l’assistenza non gratuita da parte dello Stato, di utensili, macchinari e quant’altro per produrre un tot numero di tonnellate di prodotti agricoli all’anno provenienti da colture pre-programmate mediante un programma generale di sviluppo studiato da esperti del settore atto a favorire e incrementare la crescita morale dei detenuti e l’autonomia economica e finanziaria degli stessi istituti di pena.
    Il risparmio per lo Stato sarebbe enorme e i guadagni derivati dai commerci della sovraproduzione così realizzata sarebbero ridistribuiti in parte agli stessi detenuti e in parte ai ceti sociai più bisognosi.
    Non occorre costruire carceri, in quanto sarebbe sufficiente programmare le attività lavorative dei detenuti (a rotazione) su tre turni giornalieri di otto ore ciascuno, in modo da svuotare costantemente di un terzo (circa ventimila posti su una popolazione carceraria di circa 60 000 individui in Italia) gli spazi attualmente disponibili.
    Il pagamento dei secondini e delle spese di ogni singolo istituto di pena, al pari di un simbolico “soldo” giornaliero ai singoli detenuti, utile per il loro reinserimento in ambito sociale dovrebbe essere una funzione del bilancio degli introiti annuali, non senza perdere di vista i disoccupati ( giovani e non) che, a livello locale, potrebbero “dare anch’essi una mano” dietro un minimo compenso orario giornaliero che consentirebbe loro di arrotondare l’eventuale sussidio di disoccupazione di cui eventualmente già godono.
    Questo suggerimento esemplificativo fa comprendere che, se si vuole, risparmiare ed abbassare le tasse si “puote”, si pu ò e si deve!
    Yes, We Can, We Must! Si, noi possiamo, noi dobbiamo!; possiamo e dobbiamo sul serio correre ai ripari intervenendo razionalmente non solo tagliando con criterio sulle spese folli, ma soprattutto creando posti di lavoro laddove- nel nostro esempio delle carceri- in precedenza si riteneva di dover creare solo altri posti-letto o posti-dormitorio per detenuti in “nuove” carceri e in nuove strutture carcerarie che chissà quanto sarebbero costate o costerebbero ai contribuenti, come si è cercato di far capire a chi deve capire (ed è meglio che capisca subito quel che c’è da capire!).
    Alla luce di quanto detto sopra tali opere si sarebbero rivelate e si rivelerebbero in ogni cado inutili costose e controproducenti, in quanto facenti parti di un programma politico errato in partenza.

    Riportiamo ora lo “stellone” e la parte finale dell’Introduzione generale che precede il trattato logico-filosofico di Onofrio Gallo costituito dalla trilogia: I -Critica armonica della ragione complessa; II- Filosofia armonica universale;III -Scienza armonica universale. Tale trattato si fonda sul Secondo Principio Generale della Conoscenza di Gallo ed è contenuto nel suo Codex Cervinarensis(Sezione Filosofia).

    “Nello Specchio si toccano l’Essere e il Divenire
    Il negativo e il positivo si annullano…
    E’ lo Specchio un Giano bifronte?
    Indecifrabili universi rachiudono il Fato?
    “Non esistono ferree leggi tra cause incausate ed effetti”
    Pensa qualcuno erroneamente ed anche qualche Altro…

    Nel fuoco della “stella”
    Troverai invero il vero
    Chè non s’addice al tuo ingegno
    Oziar in mondi “strani”…
    Sol così fìa il tuo fuoco
    Aeternum…
    Sol così nascerà perenne la tua gloria
    Tra i poveri mortali..

    Algebre del Caso descrivono infiniti
    Universi possibili e impossibili:
    Dunque tutto accade perchè deve accadere!…
    Un’unica forza oscura regna sul Cosmo?…
    Simboli le piogge acide del tempo
    E la morte del protone.
    Se non fossimo l’Uno e l’Altro
    Saremmo certamente ciò che fummo…
    A lungo indagammo Archivi vuoti,
    Inesistenti tra gli Uomini…
    Nessuno potrà mai capire e carpire
    Il segreto di Nuove Babilonie sorte
    Ai limiti della bivalenza e della contraddizione….
    Tutti gli arcani futuri beffarda racchiude la cifra.”
    (Onofrio Gallo)

    Ed ecco il brano conclusivo in questione:

    “Alla luce degli effetti postumi del pensiero e delle opere degli autori sopra richiamati gli unici risultati di rilievo allo sviluppo storico del pensiero hegeliano sembrano purtroppo ben compendiarsi con l’appellativo di “filosofie disgregatrici” dell’unità dell’individuo, della famiglia, della società e del mondo, primo fra tutti il venir meno dell’autorità dello Stato e dei gruppi di potere politico-istituzionali, sempre meno credibili in quanto attanagliati dall’interno da una morale anti-kantiana ed antihegeliana (fondata sugli interessi di pochi a discapito delle necessità di molti) e dall’esterno da “politiche disgregatrici” quasi sempre asociali e asfittiche sul piano dello sviluppo nazionale che quasi dappertutto hanno portato ai massimi livelli storici il differenziale ricchezza-povertà (soprattutto in Occidente, dove la società capitalistica, a sua volta attanagliata dagli innumerevoli interessi economico-finanziari- in quasi ogni settore delle attività umane – delle cosiddette “lobby” di potere) innescando enormi flussi migratori da Est verso Ovest e da Sud verso Nord con grave e costante pericolo per le cosiddette nazioni democratiche, che sempre più tendono ad identificarsi con vere e proprie “libere dittature democratiche”, contro le quali i poveri sono e appaiono sempre più impotenti e “più poveri”. Il gioco dell’antidemocrazia è dilagato a tal punto che il sistema capitalistico va spesso in tilt e, così come non servono le joint-ventures , ossia le “alleanze” tra grossi colossi economico-finanziari (in grado di condizionare le economie statali locali), né parimenti si sono rivelate positive i cosiddetti “Stati Uniti” ( d’America o USA e quelli d’Europa o CE), dal momento che i condizionamenti delle scelte economico-finanziarie dei colossi sopra ricordati si riflettono istantaneamente sulle politiche economiche e finanziarie degli stati membri; per cui si assiste spesso al fenomeno del “gatto che si morde la coda” travestito da “principio di mutuo soccorso”, nel senso che se la Grecia o un altro stato europeo è in gravi difficoltà economiche, come è capitato di recente (2010/2011), la Banca Centrale Europea (BCE) è stata costretta a correre ai ripari, malgrado la crisi mondiale che forse ha superato la stessa crisi di Wall Street del 1929, intervenendo in soccorso della Grecia con stanziamenti di un”prestito” da parte degli altri stati membri della Comunità Europea o CE che comporteranno ulteriori sacrifici e ulteriore povertà in un paese già afflitto da una politica asfittica e scarsamente orientata ad incrementare la produzione per mancanza…di capitali! E il fenomeno del “gatto che si morde la coda” da taluni è stato anche interpretato come una nuova forma di arricchimento da parte dei paese “soccorritori” nei confronti del paese “soccorso”, in quanto i prestiti erogati dalle banche, com’è ben noto, richiedono al restituzione dei capitali prestati con il solito e immancabile “interesse”. Che si questa una vera e propria politica d’investimento delle banche centrali a discapito delle banche locali delle singole nazioni? Solo il futuro potrà rispondere a tale angoscioso e squallido quesito.
    In tale contesto dunque ben s’inquadrano le correnti del pensiero economco-filosofico a carattere “disgregante” della società civile, e la tendenza alla disgregazione dei vari segmenti sociali è sotto gli occhi di tutti in quanto è ormai diventato una piaga che si manifesta in tutti i settori e ad ogni livello con la conseguente crescita della povertà, della sfiducia dei singoli e dei gruppi verso di sé e verso le istituzioni, con il conseguente esplodere di dissidi, violenze e crimini di ogni tipo: contro se stessi (incremento dei suicidi tra persone libere e tra i detenuti), contro la famiglia (incremento degli omicidi in ambito familiare, per il venir meno dei valori etici e morali nei confronti della microautorità genitoriale o il rispetto e la stima tra consanguinei in generale). E per gli stessi motivi gli stessi fenomeni si verificano sempre più anche nei confronti della macro-autorità o autorità costituita (Banche, Scuole, Ospedali, Comunità e Associazioni dei tipi più vari, Università, Parlamento e Istituzioni Pubbliche e private, Statali. Religiose, Scientifiche; e, in qualche caso, perfino nei confronti di cariche istituzionali) nonostante i reiterati tentativi da parte delle forze dell’ordine – nei limiti del possibile e delle garanzie del diritto- di mantenere un ordine, che si traduce sempre più in un ordine più apparente che sostanziale e che spesso deve fare i conti con “imprese eroiche” criminali impensabili e imprevedibili portate a segno da singoli e da gruppi emarginati o quasi-emarginati o, in altri casi, da gruppi terroristici locali o internazionali. Per verificare tale trend negativo sotto ogni profilo nelle società capitalistiche occidentali è sufficiente accedere ogni giorno al mondo delle informazioni sempre più avvilenti e squallide.
    Sembrerebbe dunque inutile ogni intervento tendente a interrompere i loops altamente disgregatori che si sono auto innescati nelle società occidentali di oggi.
    Ma così non è, in quanto, se è vero che spetta alla politica ed ai governanti cambiare rotta quanto più in fretta possibile, predisponendo le condizioni per una nuova pace sociale fondata sull’equità e sulla equa ripartizione della ricchezza e su più genuini rapporti tra gli Stati a livello locale e globale, è altrettanto vero e indispensabile migliorare le convinzioni umane (oggi spinte sull’orlo della fine delle speranze e della fine spesso dello stesso desiderio di esistere).
    In che modo?
    Mediante un intervento straordinario e nel contempo armonico fondato su di una vera e propria “rivoluzione copernicana” delle menti e delle convinzioni degli individui e dei responsabili degli Stati occidentali.
    Un rivoluzione del pensiero che deve necessariamente produrre ottimismo e sorgere dalle ceneri della Storia del recente e triste passato che -sulla base di un capitalismo dissoluto e di giochi di prestigio finanziari finiti inevitabilmente nel buco nero del “teorema” del “gatto che si morde la coda”- ha trascinato il mondo occidentale in un vicolo cieco.
    Occorre dunque una ”rivoluzione copernicana” del pensiero, a trecento sessanta gradi, che deve fondarsi su pochi principi universali di concordia e di armonia, basilari per la crescita, l’armonia e lo sviluppo sociale; principi che devono discendere da una nuova visione unificatrice della società a livello filosofico –scientifico-religioso, instillando in modo naturale, per convinzione ( e non per coercizione) dei singoli e degli Stati, il dovere morale e il rispetto per la vita e per gli altri; e, dunque, in grado di rinnovare i valori etici, quelli del sapere e quelli rappresentati dalle istituzioni e dalle rispettive autorità.
    In altre parole è possibile costruire oggi una “filosofia armonica universale?
    La nostra risposta è affermativa ed essa è contenuta nell’opera filosofica che ci accingiamo ad esporre dalla quale si potranno dedurre conseguenze fino ad oggi ritenute del tutto impossibili: la definitiva “unificazione” tra la Filosofia Scienza e Religione.
    Dopo di che ai responsabili del mondo Occidentale non resta che optare per la loro salvezza e quella del mondo.
    In caso contrario, secondo un capitolo della filosofia di Hegel, all’Occidente, che continua a perdere terreno in ogni campo, non resta che cominciare (il che già si verifica da un po’ di tempo a questa parte) a imparare il dolce idioma per inchinarsi definitivamente dinanzi allo strapotere economico, commerciale, scientifico e militare della nazione attualmente più forte della terra: la Cina dal dolce idioma.”

    News a cura di Umberto Esposito.

  44. Riportiamo di seguito la Prefazione alla CRITICA ARMONICA DELLA RAGIONE COMPLESSA, il primo dei tre volumi filosofici del matematico, poeta e filosofo Onofrio Gallo (n.13 Maggio 1946 a Cervinara, Valle Caudina) contenuta nel suo Codex Cervinarensis (Sez. Filosofia)

    PREFAZIONE
    Sin dai tempi più remoti l’Uomo ha usato la sua ragione per sopravvivere. Con lo sviluppo delle conoscenze e l’avvento delle civiltà egli ha poi ampliato non solo i propri saperi, ma anche le proprie potenzialità d’indagine sulla Natura. Molte cose che prima non erano possibili cominciarono a diventare possibili: il fuoco, l’aratro, la ruota, la scrittura e tante altre scoperte si succedettero nel corso dei millenni. Tali scoperte costituirono il nucleo di ulteriori scoperte che via via portarono ad un “progresso”, per molto tempo lentissimo, ma costante; successivamente tale progresso fu sempre meno lento, ma ugualmente costante. Solo a partire dal XVII Secolo in poi esso è andato crescendo ed accelerando sempre più nel tempo. Tale “crescita ed accelerazione” ha raggiunto livelli impensabili negli ultimi due secoli e, in modo particolare, a partire dagli anni trenta del XX Secolo, con la scoperta della radio, della televisione, del computer; con la scoperta della radioattività, dell’energia atomica e con lo sviluppo dell’aeronautica fino alla nascita dell’astronautica che ha portato, con l’Apollo XI, i primi uomini sulla Luna il 20 Luglio 1969 e, successivamente, fino alla nascita del fenomeno più sconvolgente nel campo delle comunicazioni e delle telecomunicazioni: Internet, un mezzo elettronico in grado di diffondere istantaneamente ogni nostra idea e ogni nostro pensiero in giro per il mondo, cosa che contribuisce in termini dialettici e in modo costante, istante per istante, ad un’ulteriore accelerazione dei saperi e delle conoscenze umane. Quanto sopra per ricordare solo alcune tra le più recenti ed eclatanti scoperte in campo scientifico e tecnologico. Tutto ciò è stato possibile grazie allo sviluppo delle Matematiche in primo luogo e, subito dopo, delle Scienze Fisiche, Chimiche, Naturali e Biologiche, inclusa naturalmente la Medicina nell’ambito delle scienze della vita. Ma lo sviluppo delle Scienze sarebbe stato impossibile, se esso non fosse avvenuto su base deterministica e quindi “riduzionistica”; vale a dire, sulla riduzione dei vari tipi di conoscenze ad insieme di leggi e/o principi sui quali sono state fondate le varie teorie scientifiche esistite fino ad oggi sulla Terra. Tuttavia, ad un’analisi più approfondita, si può osservare che le teorie scientifiche (comprese quelle filosofiche) hanno, però, dovuto sempre “convivere” con i cosiddetti “dualismi”, taluni di essi mai del tutto eliminati ancora oggi; quali, ad esempio, quelli tra luce e materia, tra forma e sostanza, tra continuo e discreto, tra possibile e impossibile, tra certo e probabile e così via. Ma il dualismo fondamentale resta pur sempre quello tra la vita e la morte degli esseri viventi. Un dualismo da tutti i mortali considerato insuperabile. Tra i vari principi che hanno favorito il progresso scientifico in modo “riduttivo” troviamo al primo posto il principio di causa–effetto, che fino a pochi decenni orsono appariva insostituibile e insuperabile, ma che ha poi subito un grave contraccolpo verso l’inizio degli anni Settanta del XX Secolo. Il che fu conseguenza inevitabile dello sviluppo accelerato delle conoscenze e delle indagini scientifiche dell’Uomo in ogni campo, comprese le scienze della psiche e quelle sociali, favorito da due fattori in particolare. Il primo costituito dalle migliori condizioni di vita e da un’era di pace, anche se non del tutto serena, sospesa tra la fine della Seconda Guerra Mondiale e il probabile e angosciante, in quanto estremamente imprevedibile, inizio di un’eventuale Terza Guerra Mondiale. Il secondo relazionabile all’introduzione e all’uso massiccio del computer (il più potente alleato degli scienziati che ha realizzato il sogno di Leibniz (che pure ne fu un precursore con la sua macchina moltiplicatrice) di liberare gli scienziati dalla “schiavitù dei calcoli”) nel campo delle ricerche scientifiche. La conseguenza dello sviluppo accelerato di cui dicevamo portò ben presto la stessa Scienza ad auto-considerarsi, cosa che ha portato gli scienziati, loro malgrado e con loro somma meraviglia, a ri-scoprire il ruolo della “casualità” nei fenomeni naturali che ha condotto alla “istituzionalizzazione” ufficiale nella Scienza del dualismo “Determinismo/Indeterminismo”, uno dei più enigmatici tra i dualismi contro i quali la stessa Scienza pure s’era battuta con successo nel corso dei secoli usando, negli ultimi tre secoli, la strategia di evitare le situazioni e i fenomeni più difficili da prevedere o da spiegare se essi apparivano intrattabili matematicamente. Resta il fatto che non è stato sufficiente ricorrere alla strategia suddetta, in quanto il dualismo in questione investe lo stesso modo di fare scienza e quindi la sua stessa epistemologia e i suoi stessi principi fondanti; primo fra tutti il principio di causa-effetto da tempo ormai parte fondamentale della stessa Filosofia della Scienza. Il determinismo, già applicato e che tuttora continua ad essere applicato con successo dalla Scienza in svariati ambiti in cui non erano presenti problemi di complessità, ossia lontani dalle “instabilità” di fondo che caratterizzano siffatti problemi, verso il 1870 si dimostrò inadeguato ad essere esteso alla risoluzione dei problemi che cadono sotto il dominio della Scienza della Complessità o, semplicemente, Complessità (nata verso il 1970) e caratterizzati o da un’ estrema volatilità dei dati (“data lacking” (mancanza di dati) ) o da ridondanza di dati (“data mining”) dovute entrambe alla turbolenza o instabilità alla base dei fenomeni complessi, i cui esempi paradigmatici in letteratura fanno riferimento alla fluidodinamica ( lo sgocciolare di un rubinetto o l’instaurarsi dei vortici in un flusso inizialmente regolare, ecc.), alla meteorologia (previsioni limitate a due o tre giorni al massimo, in virtù del cosiddetto “effetto farfalla” di Lorenz: il battito d’ali d’una farfalla in un luogo può causare un uragano altrove), alla biologia e ad altre innumerevoli discipline di cui si occupa ormai da circa un quarantennio la cosiddetta Teoria del Caos, che include in sé anche il cosiddetto Caos deterministico scoperto dal matematico e filosofo francese H. Poincaré (1854-1912), che ebbe a scrivere in merito:
    “ Nella ricerca scientifica, come negli altri campi, molti sono i tecnici ma pochissimi i creatori, quelli davvero capaci di innovare, di abbandonare le strade già battute. E’ sin troppo facile e allettante interessarsi di un problema perché i tre quarti dei colleghi vi stanno lavorando, mentre le questioni veramente profonde e difficili,, che non promettono facili successi, non attirano i professionisti della pubblicazione (…omissis) …quel che rende per noi tanto preziose queste soluzioni periodiche è il fatto che esse sono, per così dire, la sola breccia attraverso la quale possiamo tentare di penetrare in un luogo finora ritenuto inaccessibile”.
    L’analisi di un sistema dinamico fu in seguito (1963) compiuta dal matematico americano E. N. Lorenz (1917-2008) sulla base delle ormai ben note “ equazioni di Lorenz”. Si tratta del seguente sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine che egli ottenen semplificando le equazioni del moto alle derivate parziali che descrivono il movimento termico di convezione di un fluido : x’=σ (y-x); y’= ρx –xz –y; z’=xy – βz , essendo x’,y’,z’ le derivate prime delle tre funzioni x=f(x, y, z); y=g(x,y,z); z=h(x,y,z), dove: σ è il numero di Prandtl e ρ è il numero di Rayleigh. σ, ρ e β sono maggiori di 0, ma nella maggior parte dei casi σ = 10 e β =8/3 mentre ρ è variabile. A causa del forte troncamento, sebbene tali equazioni, bene si prestano a descrivere il noto fenomeno di “convezione” solo per ρ≈1, esse possono essere usate come “modello a bassa dimensione” per rappresentare un comportamento caotico. Nello spazio delle fasi i grafici geometrici corrispondenti, rappresentativi del moto di un sistema caotico, vengono definiti attrattori strani, la cui dimensione di Hausdorff è frazionaria. L’attrattore di Lorenz fu il primo esempio di un sistema di equazioni differenziali a bassa dimensionalità in grado di generare un comportamento complesso rappresentato da un attrattore strano (il grafico relativo appare simile alle ali di una farfalla vista dall’alto) Il fatto davvero notevole è stato che dopo qualche decennio la stessa Scienza – che dopo aver scoperto da secoli (verso la seconda metà del XVIII Secolo) la presenza del Caos ne aveva evitato accuratamente il contatto fino agli anni ’70 del XX Secolo, quando, essendo già ormai certa di averlo messo all’angolo della ricerca scientifica, considerandolo per vari secoli, come un pugile suonato per sempre dal deciso K.O. infertogli dal Determinismo e che, perciò. avrebbe dovuto decretare per sempre la vittoria dello stesso Determinismo sul Caos- ha dovuto improvvisamente ricredersi e ha dovuto prendere coscienza del risveglio del Caos che è tornato alla carica in modo impensabile fino a pochi decenni orsono, finendo per diventare pervasivo in moltissimi ambiti scientifici e non. E dire che il Caos per secoli era stato occultato abilmente da tutte le teorie proposte dagli stessi scienziati “deterministi”, a partire dallo stesso Newton! La pervasiva presenza del Caos nella Scienza ha accentuato di fatto il dualismo Determinismo/Indeterminismo portandolo alle sue conseguenza più estreme, al punto che tale dualismo all’inizio della seconda decade del XXI Secolo appare non solo ineliminabile, ma anche e soprattutto “irreversibile”. Ma è veramente così? Tutto è davvero perduto in modo irreversibile ed irreparabile? Intanto occorre dire che, trattandosi di un dualismo scientifico globale, si tratta sempre solo di un dualismo e, come tale, vi sono ancora ampi margini per una sua ricomposizione e per un suo superamento, se, però, si è in grado di re-interpretarlo in modo originale ed opportuno. In che modo? Un modo originale, paradossalmente, ce lo suggerisce la stessa Storia della Scienza. Un esame approfondito dello sviluppo del progresso scientifico ci rivela che, laddove vi è “stabilità” a livello teorico e sperimentale, la stessa Natura si lascia prevedere, in altri termini i suoi fenomeni diventano predicibili; e, nel contempo, laddove la Natura è predicibile, essa obbedisce necessariamente a principi di causa-effetto, in quanto è noto il linguaggio matematico necessario per effettuare tali previsioni. D’altra parte, laddove la Natura è impredicibile, è convinzione comune che essa non obbedisce necessariamente a principi di causa-effetto: il che tuttavia dipende dal fatto, anch’esso evidenziato da tutti, che non è noto il linguaggio matematico necessario per effettuare tali previsioni. E’ pertanto possibile affermare, in generale, che il dualismo Determinismo/Indeterminismo è sempre esistito ed esso non fa altro che evidenziare i limiti del nostro “modo” di affrontare i fenomeni complessi venuti alla ribalta, come detto, negli ultimi quattro decenni; per cui la mancata risoluzione di tali problemi complessi, in virtù del “ritardo” che essi causano attualmente all’ulteriore progresso della Scienza, si pone come un problema “urgente” da risolvere. Ma da dove cominciare? La risposta, per paradossale che sia, non può essere che quella di considerare la Natura come una “laguna” costituita da “isole d’ordine” ( in cui regna il Determinismo) e da “isole del disordine”(in cui regna l’Indeterminismo) connesse le une alle altre da un “disegno” topologico (sta per “logico”) che, dal punto di vista della struttura logica che regna nei due tipi di “isole”, non è ancora noto alla Scienza attuale. Il progresso della Scienza sembra a questo punto estremamente condizionato dal dualismo di cui ci occupiamo; né, allo stato attuale, sembra possibile costruire quella serie di “ponti” (logici) in grado di “unificare” i procedimenti deterministici (noti) con quelli (ignoti) collegati all’Indeterminismo. E’ vero che, ad esempio, la Fisica negli ultimi tre secoli ha scoperto un esiguo numero di forze fondamentali che non supera il numero delle dita di una mano, ma è altresì vero che ( e forse questo è il punto nevralgico che ancora oggi filosofi e scienziati non hanno sviscerato come si conviene) tutti i tentativi di “unificazione” di tale esiguo numero di forze fondamentali sono falliti e, di conseguenza, il che. ad un livello più generale, sembrerebbe implicare che tutti i principi di causa-effetto, sono anch’essi irrimediabilmente falliti, a cominciare da Newton fino ad Einstein. La risoluzione del dualismo Determinismo/Indeterminismo non sembra a prima vista esser legato a tale problema di unificazione nel regno delle varie “isole d’ordine”dove primariamente ( a livello subatomico cioè) si manifestano le varie forze della Natura in quanto tuttora non è stato individuato un unico principio unico P. Il che, in parallelo, è avvenuto a livello generale anche per la stessa Scienza che non è riuscita fino ad oggi ad individuare un unico principio P’ che si trovi alla base delle varie discipline scientifiche. Il fatto sorprendente è che nessuno si è mai domandato fino ad oggi se i principi P e P’ possano e/o debbano essere lo “stesso” principio P*(=P=P’). Sta di fatto che solo l’identificazione tra P e P’ può condurre ad un unico principio P* che, non a caso, sin d’ora definiamo “Principio Armonico Universale”, in virtù del fatto (paradossale quanto si vuole) che esso è in realtà lo stesso (!) principio che si trova sia alla base del Determinismo sia alla base dell’Indeterminismo, come proveremo nella nostra trilogia, costituita dalla Critica della Ragione Complessa (Vol. I) , dalla Filosofia Armonica Universale (Vol. II) e dalla Scienza Armonica Universale (Vol. III). Nella nostra Critica della Ragione Complessa (una “ragione complessa” fondata su basi paradossalmente neo-causali) ci sforzeremo di raggiungere una posizione “ armonica” (di perfetta corrispondenza e identità tra visioni ritenute ancora oggi contrapposte delle cose del Mondo, come, in particolare, tra Scienza e Fede; tra l’Uomo e Dio etc.) e “universale” (al di sopra di tutto e di tutti) che si pone come vera e propria extrema ratio prima sul piano fisico e subito dopo sul piano metafisico da parte della ragione umana nel considerare e superare criticamente la complessità del reale ossia ciò che comunemente è ritenuto incontrollabile e inconoscibile in quanto non sperimentabile. In tale senso la “critica della ragione complessa”intende proporre un “ritorno” a quell’esperienza che tradizionalmente precede la distinzione tra l’Universo complesso e la ragione complessa dell’Uomo e che non è apparentemente suscettibile di alcuna interpretazione in virtù della sua “complessità”né in modo idealistico né in modo materialistico in quanto, come detto, si tratterebbe, come accennato in precedenza, di “complessità” che stanno al di là della portata del principio di causa-effetto. Ma allora che cosa si deve intendere per “complessità universale”? Per noi la complessità universale non è una complessità “specifica”, ma si tratta appunto di “complessità” intesa nella più ampia accezione del termine: essa è, in breve, la struttura dell’ Universo e dell’Uomo, considerata a prescindere da qualsiasi teorizzazione di quanto di complesso viene esperito. In questo senso la complessità universale non si avvicina alla interpretazione e considerazione naturale, ingenua e “impotente” da parte dell’uomo comune o dello scienziato quando indaga sui fenomeni complessi; ma, al contrario, essa si deve intendere la costante ricerca di principi universali in base ai quali sia possibile unificare la “molteplicità” prodotta dalla stessa “complessità”. Non a caso la visione naturale, ingenua e “impotente” da parte dell’uomo comune definisce “complesse” le percezioni di oggetti indefinibili (ad esempio gli UFO) e altrettanto “complesse”risultano le descrizioni approssimative e incerte di tali ricordi; o le visioni immaginarie e oscillanti ai limiti della coscienza oggetto d’indagine delle Scienze della Mente (Psicologia, Psichiatria etc.); o le idee “conflittuali”che, pur essendo articolate logicamente, ad un certo punto si rifiutano di obbedire alla nostra logica consueta e finiscono, appunto, per entrare in conflitto tra loro in quanto sfuggono ad ogni ambito definitorio in termini razionali; o le valutazioni cangianti e instabili relativi ad eventi e situazioni anch’essi cangianti e instabili; o i giudizi aleatori che talvolta la nostra ragione è costretta ad articolare in presenza di incertezze ( il “dubbio amletico” essere o non essere? di un aspirante suicida, il “dubbio legale” dei giudici: colpevole o non colpevole? sul reo di turno, etc); o di fluttuazioni delle situazioni reali ( oscillazioni improvvise dei mercati economici e finanziari e relative decisioni variabili o costrette a diventare tali immediatamente dopo aver compiuto una scelta, etc.); o di rischio ( nel gioco d’azzardo, dove “tutto può verificarsi” contro il giocatore in termini di probabilità, etc.). Per cui, se la complessità universale è l’insieme di tutto questo, si pone immediatamente il problema di come orientarsi in tali”complessità”, ossia come discernere tra le varie alternative a disposizione o, se si vuole, in che modo esse posano essere distinte, ordinate ed inquadrate in una visione stabile e unitaria sullo sfondo della complessità universale. La risoluzione di tale problema relativo alla complessità in generale è compito specifico e fondamentale della nostra Critica della Ragione Complessa. Da quanto si è detto si deduce che, a livello generale, la complessità è tutto ciò che viene asserito in relazione ad eventi incontrollabili sulla base delle conoscenze attuali (che si trovano ancora al di qua di un principio armonico universale tuttora ignoto alla Scienza ufficiale) e ciò a prescindere, anche in questo caso paradossalmente, da chi formula tali asserzioni, messe per iscritto sia da un folle che da un esercito di scimmie o da uno scienziato, da un filosofo o da un’équipe di “esperti” del settore. E ciò in quanto ordinariamente la “complessità” non è dominabile tout court dalla logica euclidea, ma da un tipo di logica non euclidea(di cui diremo in seguito); allo stesso modo in cui non lo era la meccanica newtoniana (di tipo “ deterministica” in cui il moto dei corpi segue le leggi della geometria euclidea ed era dominato dalle equazioni differenziali che non sono equazioni di campo) nei confronti della meccanica gravitazionale di Einstein (anch’essa di tipo “deterministica”in cui le equazioni del moto delle masse celesti possono essere ricavate, mediante il calcolo differenziale assoluto di Ricci-Curbastro, Levi-Civita et al., dalle equazioni del campo gravitazionale associato o “relativo” ad un determinato corpo celeste e nel quale lo spazio-tempo non segue le leggi della geometria euclidea).
    La “complessità” viene, quindi, a configurarsi ( a differenza della Scienza e della Filosofia tradizionali, come, ad esempio, nel razionalismo e perfino nel Positivismo) come una enorme massa di problemi afferenti alla sfera della complessità, tuttora esistenti e che appaiono irrisolvibili, su cui si esercita poi la “critica della ragione complessa” umana, la quale indaga sulle “condizioni” della complessità non certo per tentativi, ma in base alla preventiva ricerca del Principio Armonico Universale onde instaurare il “ritorno” all’”armonia universale” che sta alla base del “disegno divino” che regola la stessa complessità universale. In tale ricerca non è fuori luogo tener presente che tutti i sistemi filosofici non hanno rappresentato altro se non le modificazioni di precedenti assunti il cui contenuto –nelle intenzioni dei loro autori- doveva costituire implicitamente il concetto naturale di complessità universale che, contro ogni loro aspettativa, si fonda, al contrario, su un unico principio fondante come stiamo cercando di far comprendere (si spera) il più chiaramente possibile al nostro Lettore. Il campo della complessità universale è incompleto se in esso non si colloca anche la ragione complessa dell’uomo e la serie delle relazioni – in termini “complessi”- tra l’Uomo, la sua ragione e l’Universo. Nella complessità universale, dunque, la ragione complessa dell’Uomo si trova dinanzi a situazioni ed eventi di fatto complesse nelle quali appare in sostanza la complessità universale che si riverbera in Natura proprio mediante tali situazioni e tali eventi complessi interrelati in una coordinazione che appare irrisolvibile. Pertanto la ragione complessa dell’Uomo e la complessità della Natura non sono realtà opposte: l’una e l’atra appartenendo ad un’unica complessità universale, necessariamente devono soggiacere ad uno stesso principio. Il fatto che tale principio sia unico e sia nel contempo armonico lo si può dedurre per due vie diverse. La prima osservando la complessità della ragione umana rappresentata dalla armonica complessità del suo cervello che interagisce con gli stessi caratteri e attributi con la complessità della Natura che, una volta decifrata, consente di estendere tale armonìa universale allo stesso Universo, unificando la Fisica con la Metafisica, l’Uomo con l’Universo e con il concetto di Dio. Questo è il motivo che ci ha indotto ad eliminare ogni contrapposizione tra la complessità della Natura e la complessità della ragione umana o ragione complessa ponendoci, una volta per tutte, in grado di superare qualsiasi tipo di dualismo che fino ad oggi si è annidato nella famiglia dei sistemi filosofici che si sono succeduti nel tempo per vari millenni. Tutto accade, dunque, perché deve accadere: e gli eventi che si verificano (siano essi semplici o complessi) sono quelli che soggiacciono al nostro Principio Armonico Universale; anche se non è possibile distinguere a priori – come nella filosofia kantiana- un io dotato di strutture categoriali complesse, proprio perché la “complessità” non è definibile in modo compiuto e aprioristicamente. Da un punto di vista strettamente fisiologico una tale analisi ci consente di intravedere, ma solo nebulosamente, in modo indeterminato, che la ragione complessa umana è un insieme di stati complessi a livello cerebrale nell’Uomo, caratterizzati dalla continua e costante ricerca e dall’autonoma capacità di adattamento all’ambiente, essendo in grado di operare e di incrementare per “feed-back” le nostre esperienze (dalle più semplici alle più complesse) relative alla complessità della Natura. Esperienze complesse in base alle quali la stessa “ragione” individuale tende a coagularsi in nuclei di complessità sempre più stratificati e concentrici che vanno ad accrescere lo spessore della “ragione complessa” che perviene gradualmente alla cosciente acquisizione di un principio armonico universale interiore che, proiettato fuori di sé, finisce per identificarsi con la conoscenza armonica e universale della complessità della Natura. La conoscenza della complessità della Natura non è più la ricerca dell’adattamento ai fatti dell’esperienza, ma, al contrario, è la “proiezione” di una struttura armonica universale interiore dell’Uomo ( la sua ragione complessa sviluppata al massimo livello) sulla complessità della Natura. Da tale “proiezione” nasce poi l’identità tra la complessità della ragione umana e la complessità del reale. Ed è solo quando si stabilisce tale identità che è possibile avere ragione della complessità universale risolvendo problemi che prima apparivano irresolubili in virtù del loro alto grado di complessità. Ad un’analisi più fine è allora anche possibile, in linea di principio, rispondere alla domanda: “ Come nascono e come si risolvono i problemi della complessità?”. I problemi complessi nascono dalla disarmonia tra la teoria e i fatti o dalla disarmonia tra la concatenazione degli elementi della ragione complessa. In un primo tempo, dunque, abbiamo i problemi complessi che noi cerchiamo normalmente di risolvere ricorrendo alle ipotesi più varie che, di fatto, costituiscono una specie di adattamento ad un ambiente molto instabile che presenta novità del tipo “la somma delle parti è maggiore del tutto” e in cui lo squilibrio prevale, anche a livello locale, sull’equilibrio. Davanti a tali stranezze della complessità in genere la nostra ragione complessa ( che supponiamo priva di un principio-guida) saggia la natura in termini complessi, ossia ricorrendo a una grande molteplicità e ricchezza di idee, ognuna delle quali viene “provata” per verificarne le applicazioni alla complessità dei fatti sulla base di una teoria che può già esistere o che si costruisce man mano che le idee risultano verificate dai fatti, talvolta anche se solo parzialmente. Si crea in tal modo un processo di “osmosi logica” tra la logica dei fatti e la logica della teoria, anche se tale modo di procedere mal si concilia con i fenomeni complessi in cui difficilmente alcuni elementi del problema o del fenomeno si possono far dipendere l’uno dall’altro, in quanto tale tipo di procedere, per lo più, non fa altro che farci comprendere ancora una volta che laddove noi cerchiamo la dipendenza tra due o più parti del problema o del fenomeno, non facciamo altro che scoprire una serie di elementi del tutto indipendenti l’uno dall’altro; mentre per costruire un nucleo minimo di conoscenza scientifica occorre che siano note le interdipendenze tra le parti di un problema o di un fenomeno complessoi. In altri termini anche nel caso di problemi complessi la nostra ragione complessa va a caccia di un qualche nesso causale tra le parti del problema. La ragione di ciò discende dal fatto che i concetti legati a parvenze di relazioni provvisorie che affiorano durante lo studio della risoluzione dei problemi complessi sempre più raramente, in virtù della loro incompletezza ed imprecisione, sembrano essere collegate o collegabili attraverso nessi causali, per cui l’impossibilità di pervenire a nozioni di “funzione” non consente di ottenere –neppure in minima parte- qualche relazione tra gli elementi complessi del problema da risolvere. In altri termini si perviene ad un fallimento totale. Fino ad oggi i filosofi e gli scienziati hanno dato la colpa di tali fallimenti unicamente o prevalentemente al principio di causa-effetto che si rivelerebbe inadatto alla risoluzione dei problemi complessi; anche se, come – al contrario- noi riteniamo e come dimostreremo più avanti non è proprio così. Infatti, come evidenziato più sopra, solo in base al ripristino di un più generale principio di causa-effetto, sotto le vesti del nostro Principio Armonico Universale, sarà possibile porre le premesse necessarie (ma ovviamente non sufficienti) per la risoluzione a livello generale dei problemi connessi alla “complessità” dei fenomeni naturali. Se è vero che” Natura non facit saltus” ( ossia che la natura non ama le discontinuità), è anche vero che la stessa Natura ama la semplicità e l’economia, ossia ama fondarsi su pochi e semplici principi, e, a livello armonico universale, non può pertanto non fondarsi che su di un “unico” principio di tipo armonico e universale. La complessità della Natura competerebbe dunque a tutti quei fenomeni che si trovano ancora “allo stato selvaggio” secondo il consueto modo di vedere la realtà complessa, ignorando del tutto il fatto che tale “stato selvaggio” non è altro che la “ricerca” di un adattamento molto lento e graduale dei sistemi complessi al più generale dei principi di causa-effetto: il Principio Armonico Universale. Così come noi non siamo in grado di percepire fenomeni che avvengono nell’ordine dei femtosecondi ( paria a un milionesimo di miliardesimo di secondo), allo stesso modo, proprio per la estrema lentezza e gradualità di adattamento dei fenomeni complessi al suddetto principio generale di causa-effetto, noi ( senza un principio-guida in ambito complesso) non siamo in grado di cogliere i lentissimi cambiamenti e le altrettanto lentissime variazioni graduali della “complessità” verso il determinismo; né , per converso, siamo in grado – se non da qualche tempo- a percepire il passaggio della Natura dal Determinismo all’Indeterminismo. Solo la conoscenza del Principio Armonico Universale consente alla nostra ragione complessa di rendersi conto delle continue trasformazioni naturali di talune isole d’ordine (Determinismo) in isole del disordine (Indeterminismo) e, viceversa, di talune isole del disordine (Indeterminismo) in isole d’ordine (Determinismo).
    Tali trasformazioni, essendo continue nello spaziotempo, costituiscono un “flusso continuo” dal Determinismo all’Indeterminismo; il che, già di per sé, sarebbe sufficiente per dichiarare il non senso del supposto dualismo Determinismo/ Indeterminismo.
    Il fatto è che, per quanto ci riguarda, il flusso continuo di cui sopra è solo “apparente” , allo stesso modo di come lo era stato il moto apparente del Sole rispetto alla Terra (e che per vari millenni ha ingannato l’Uomo, prima della Teoria di Aristarco, ripresa e perfezionata in seguito da Copernico). Il “flusso continuo” dal Determinismo all’Indeterminismo è “apparente” in quanto Determinismo e Indeterminismo risultano anch’essi unificati, risultando equivalenti in quanto essi sono completamente “identici” , se si assume come principio genearle di causa-effetto il nostro Principio Armonico Universale. Per cui se Eraclito affermò il Divenire (tutto scorre, in quanto esiste il moto) e Parmenide sostenne l’Essere (tutto è immutabile, in quanto non esiste il moto) creando di fatto il primo e fondamentale dualismo in campo filosofico e scientifico; noi, nell’ambito della nostra Critica della Ragione Complessa, una volta istituito il nostro Principio Armonico Universale a fondamento della unità della Scienza, della Filosofia, della Religione, e, una volta superati ( per averli unificati) i dualismi fondamentali Determinismo/Indeterminismo (ossia il dualismo Essere/Divenire), Semplice/Complesso, Ragione/Fede (per non citarne altri ancora) pensiamo di aver fornito i canoni e il principio-guida fondamentale per proseguire ed ampliare su vasta scala – a livello semplice o complesso- la ricerca scientifica dei prossimi millenni; in quanto riteniamo di aver “corretto”le coordinate che stavano portando fuori rotta la flotta dei ricercatori e degli scienziati i quali si ostinavano (non potendo pervenire più alle “teorie”) a creare “modelli” nell’ambito di quasi tutte le discipline scientifiche con risultati scarsi e talvolta contraddittori. Tuttavia tale “correzione” sarà completa quando parleremo, più avanti in quest’opera, del ruolo e del significato del “linguaggio”. Solo allora il nostro Lettore riuscirà a cogliere in tutta la sua ampiezza la nostra piccola/grande rivoluzione scientifico-filosofico-religiosa. Qui aggiungiamo solo alcune considerazioni sul ruolo del nostro principio-guida in ambiti fino ad oggi considerati al di là della Scienza.
    Il Principio Armonico Universale ponendosi come principio-guida della conoscenza suggerisce la possibilità di costruire di fatto quel “metodo universale” d’indagine che Cartesio ed altri filosofi e scienziati avevano erroneamente creduto d’aver individuato o avevano cercato d’individuare con tutte le loro forze nel corso dei secoli per fondare una gnoseologia naturale e, se possibile, universale o metafisica. Nel nostro caso, trattandosi di un principio armonico universale che governa tutti i fenomeni naturali, non è difficile affermare che tale principio assume anche il carattere di un principio metafisico e,come tale, per mezzo di esso, risulta possibile non solo spiegare i fenomeni della Natura, ma anche comprendere il come e il perché della formazione dell’Universo. Sulla base di tali nuove possibilità non è difficile comprendere che, mediante tale principio armonico universale, l’Uomo, proiettato dalla Fisica alla Metafisica, è ora in grado di comprendere quel “disegno divino” che opera nell’Universo attraverso le leggi del Determinismo e dell’Indeterminismo e che, concepito dalla nostra ragione, si trova nella mente umana da sempre, come da sempre si trova in Natura. Se poi vogliamo attribuire quel “disegno divino”( intravisto da vari filosofi e scienziati del passato e “codificato” sotto vari punti di vista in termini filosofici e ontologici dalla Filosofia e dalla Religione) ad un Ente che sta fuori dell’Universo e che ne è il “creatore” non incorriamo in alcuna contraddizione logica, sia che tale Ente lo consideriamo esistente al di fuori della nostra mente, sia che lo consideriamo come Idea reale a sé prodotta della nostra mente. In ogni caso tale Ente esiste sia al di fuori che dentro di noi e non è difficile comprendere che l’esistenza di un collegamento o punto di contatto tra tale Ente e l’Uomo costituisca la base dell’identificazione, mediante un unico principio universale armonico, tra l’Uomo e tale Ente: Ma possiamo chiamare “Dio” tale Ente? Se intendiamo con il termine “Dio” un Ente in grado di creare una tantum l’Universo complesso oggetto della nostra ragione complessa, ma indubbiamente da considerare un Non-Ordinatore non solo in riferimento a tale Universo complesso, ma anche, necessariamente, in riferimento alla nostra ragione complessa: in caso contrario sia l’Universo complesso sia la nostra ragione complessa sarebbero strutture complesse “preordinate”, il che costituirebbe un assurdo; in quanto nell’atto della creazione dell’Universo da parte di Dio, già in partenza, non sarebbe contemplato non solo il libero arbitrio dell’Uomo, ma neppure la necessità di conoscere l’Universo; per cui, in definitiva, la stessa Scienza costituirebbe un inutile pleonasmo), e , dunque in tale ottica, la risposta non può che essere positiva, stante il bisogno di fede che noi riponiamo nella nostra stessa “Ragione” che, in tale ottica, nel momento stesso in cui essa ci ha condotto a scoprire il Principio Armonico Universale, necessariamente la nostra Ragione diventa “Ragione Armonica Universale” e finisce per identificarsi con la nostra Fede nel Principio Armonico Universale che la caratterizza pienamente. E dunque Ragione Armonica Universale e Fede in quel Dio che è in noi (S. Agostino in ambito Ontologico) e fuori di noi (in ambito Filosofico) sono pienamente conciliabili ed identificabili, poiché sono le due facce di una stessa medaglia: il concetto dell’identità Dio-Scienza o Fede-Ragione. News a cura di Umberto Esposito per gentile concessione dell’Autore.

  45. Secondo me, ogni tanto bisognerebbe anche bruciarla un po’ la cultura..
    Figuriamoci le cretinate.
    Attenti ai pazzi.

  46. Ciao a tutti.
    Da alcune giorni seguo di sito in sito le affermazioni del Sig. Esposito.
    All’inizio mi sembrava solouna burla ben architettata. Qualcosa da leggere con spirito goliardico cercando di rimanere seri, però, e magari tenergli il gioco. Così abbia immagino fatto anche la Dott.ssa Masiero ed il Dott. Castellani.
    Ora però il Sig. Esposito sta esagerando ed abusa dell’ospitalità che gli si sta concedendo. Se ha così tante cose da dire, che faccia un libro. Lo comprerò e cercherò di godermi quest’affreso “tolkiano” che raffigura una matematica distorta, mendace ma vera nel mondo parallelo dove abitano il sommo Gallo ed il suo invadente portavoce…
    Cordilai saluti.
    DANIELE

  47. Tra i Saggi Letterari del Novecento contenuti nella Sezione Lettere del Codex Cervinarensis del matematico Onofrio Gallo abbiamo scelto per l’occasione la nota critica “L’altra faccia della Maschera di Dio”relativa ad un pensatore dei nostri tempi.
    Si tratta di G. Thibon e la nota in questione apparve nella pagina dedicata alla culturaa umanistica del periodico di Scienza e Cultura “Oltre il 2000” (n. 2 , nov. 1991, p. 3) a lato di un articolo su “Erodiade e Salome tra storia e fantasia” di Luigi Torraca, allora ordinario di Letteratura Greca nell’Univesrsità di Salerno, il quale, assieme a vari altri docenti, tra cui anche il Prof. Luigi Capuano dell’Univesrità Federico II di Napoli, partecipò ad un convegno sulla cultura storica contemporanea presieduto e coordinato dal Prof. Onofrio Gallo.
    In tale nota leggiamo: “ Nel panorama della cultura contemporanea pochi pensatori hanno raggiunto le vette di pensiero toccate da Gustave Thibon. Si tratta di un caso emblematico eccezionale. G. Thibon è un autodidatta rimasto sempre estraneo ad ogni richiamo della mondanità e che ha vissuto “à la Montaigne” in un paesino della Francia.
    Nel 1964 si aggiudica il Gran Prix delle Lettere della prestigiosa “Académie Française”. Il suo pensiero offre una testimonianza di un uomo integro e coerente come ne esistono pochi ai nostri giorni, nonché una fede straordinaria in valori indistruttibili non scalfiti dalle ideologie o dagli allettamenti della Civiltà delle Macchine. Sono tali cardini che fanno ruotare il pensiero thiboniano a trecetosessanta gradi e lo sospingono ad incitare gli uomini a percorrere nuovi cammini che non siano intralciati da convinzioni errate, dalla solita saccenteria pedante o dal marasma e dalla confusione aberranti e dilaganti.
    La ricerca dell’Assoluto è la filosofia della sua fede e, nel contempo, la fede della sua filosofia. Egli scrive: “ Non è la luce che manca al nostro sguardo che non riesce a cogliere la luce”: si tratta di una delle sue affermazioni che evidenzia il suo modo di pensare; un’altra è la seguente:”Tutto quello che non è ternità ritrovata è tempo perduto”. Queste due brevi affermazioni apodittico-paradossali fanno parte della sua famosa opera “ L’Uomo maschera di Dio”..
    La forza esplosiva e dirompente delle sue meditazioni è fin troppo evidente .
    Un colloquio silenzioso con la natura ha condotto”il solitario di Saint-Marcel d’Ardèche”su queste orme dimenticate della fede e del pensiero.
    Dai suoi saggi traspare una personalità vigorosa ed impegnata in una battaglia di carattere spirituale, sulla scìa di Bloy, Pèguy e Bernanos, vale a dire dei più profondi pensatori di stampo cattolico.
    Attento ed acuto osservatore dei costuni e delle umane passioni e debolezze, Thibon pronuncia parole come lame affialte che affondano nella saggezza ma che, in generale, non recidono completamente la sua convinzione che l’Uomo, in particolare quello del XX Secolo, è redimibile, anche se i fatti tendono a provare il contarrio.
    I ritmi della natura persi, le leggi della morale calpestate, la società ridotta a massa anonima ed informe, gli ideali continuamente repressi ed abbrutiti dai media e da una pseudocultura dilagante non sono altro che espressione di un livellamento, di un’omologazione di pasoliniana memoria, che oggi ancor più ha causato la depauperazione del bene in gran parte sostituito da veleni mutltiformi e da identificazioni diaboliche del reale con l’onirico. del possibile con l’impossibile, dell’umano con il disumano.
    Le conseguenze? Scomparsa quasi totale dell’amore per il prossimo e, più in generale, tra gli uomini e indiscriminato prorompere dell’erotismo e del consumismo.
    Sono eventi tutti soggetti all’analisi acuta dei pensiero di Thibon che li identifica uno per uno e li inquadra in una fenomenologìa erosiva della spiritualità dell’Uomo del nostro tempo.
    In parte tale fenomenologìa è legata “all’orgoglio prometeico delle nostre conquiste materiali” che, distogliendo l’Uomo dal suo essere più profondo lo svuotano interiormente.
    La noia e la depressione si impossessano di “questo”Uomo fino a condurlo sulla strada della distruzione, ancorchè materiale, spirituale (nichilismo assoluto).
    Le droghe e i fenomeni di criminalità comuni, l’inviltà la maleducazione, la tracotanza e la vigliaccheria sono sotto gli occhi di tutti e dilagano ai nostri giorni: E non sono forse questi gli “indici” della tendenza dell’Uomo d’oggi all’autodistruzione. L’autodistruzione dell’Uomo di oggi è l’ l’altra faccia della “maschera di Dio”.

    Nella stessa pagina in un box appare anche la seguente poesia di Onofrio Gallo, intitolata “POIESIS”- In morte di J.L. Borges preceduta e chiusa da due passi borgesiani che qui riportiamo:

    “Mi crocifiggono e io devo/ essre la croce e i chiodi /Mi bruciano e devo essere l’inferno…./Non m’importa la mia fortuna o la mia sfortuna/Sono il poeta” (J.L.Borges)

    POIESIS
    In morte di J.L. Borges

    E’ possibile essere e non essere?/Esistere e morire?/E’possibile essere già vivo ed essere già morto?/ Essere Dio del Sé/ Ed essere Dio agli Altri?/E’ possibile vivere nel paradosso?/ Indagare la Relatività con i nastri Moebius? Amare Virgilio e Galileo?/ E’ il Caso il Padre del Tutto?/ E’ il Caso il Padre del Nulla?/ La Grande Fornace unirà per sempre la Prte al Tutto/Vincitori e Vinti nel silenzio delle stelle…/Nella luce del mistero/ Indecifrabili/ si rivelarono i segreti degli atomi e degli uomini…/connessi dall’Essere e dal Divenire./ E’ difficile sortire dall’Universo di Diofanto…/(Non è forse un’equazione di Pell mod k/ A generare le mutazioni del Caso?…)/ E’ forse inutile leggere nel volume-Universo gli Enigmi/ DellaStoria che ebbe già inizio ed ebbe già fine?/ – “Uomini, considerate la vostra semenza!”-/ Il Vate disse: “Io sono il tempo- Io fui il tempo”/ La cifra si chiuide in un infinito labirinto oscuro/ Dove a malapena penetra ambigua tetra esigua la luce/ Preludio del giorno o della notte?/ Preludio dell’inizio o della fine?/…O…mirmecofuga dal Nulla?

    “Viviamo riscoprendo ed obliando/ (Chi lo può dire?…) L’abitudine dolce della notte”/ “Non so chi dei due scrive questa pagina”…/”Devi guardarla bene. Può esser l’ultima” (J.L.Borges).

    Aprendo a caso il Codex Cervinarensis abbaimo notato il seguente problema: “ Determinare i minimi valori interi positivi x, y, z tali che il triangolo numerico di lati X, Y, Z risulti “rettangolo”, sapendo che X=x+y; Y=y+z, Z= x+z, e che x,y,z sono le soluzioni (minime intere e positive) delle tre equazioni diofantee 3x^2 +2y^2=31 877, 5z^3 -3y^3= 134 999 625; 7z^4 – 131x^4= 4 844 704 589”
    News tratte dal Codex Cervinarensis di O. Gallo a cura di U. Esposito per gentile concessione dell’Autore.

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